Question

Интеграл (по откликам не лёгкий). Подскажите с чем его едят. Не столько нужен ответ, как сам рецепт :) int (sqrt (x^2 +1))/x dx С вознаграждением не обижу

Answer 1

$x^{2} +1=t^2; x= \sqrt{t^2-1} , dx= \frac{tdt}{ \sqrt{t^2-1} } \\ ...= \int\limits { \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}* \frac{tdt}{\sqrt{t^2-1}} } \ = \int\limits { \frac{t^2}{{t^2-1}} dt}= \int\limits { \frac{t^2-1+1}{t^2-1} } \, dt = \\ = \int\limits {(1+ \frac{1}{t^2-1})} \, dt =t+ \frac{1}{2}ln| \frac{1-t}{1+t} |+C$
Значит исходных интеграл равен: 
$\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}ln| \frac{1-\sqrt{x^2+1}}{1+\sqrt{x^2+1}} |+C$

Answer 2

Для интегрирования данного выражения, можно использовать метод подстановки. Вот рецепт:

Шаг 1: Подстановка Для начала, давайте проведем подстановку, чтобы упростить выражение в интеграле. Обозначим $u = x^2 + 1$. Тогда $du = 2x \, dx$ и $x \, dx = \frac{du}{2}$. Заменим в нашем интеграле соответствующие части:

$$\int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \, dx = \int \frac{\sqrt{u}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u - 1}} \, du$$

Шаг 2: Упрощение Теперь упростим полученное выражение. Обратите внимание, что $\sqrt{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{u - 1}} = \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u - 1}} = \sqrt{\frac{u}{u - 1}}$. Заменим эту часть в нашем интеграле:

$$\int \frac{\sqrt{u}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u - 1}} \, du = \int \frac{\sqrt{\frac{u}{u - 1}}}{2} \, du$$

Шаг 3: Дробь с частным представлением Теперь мы можем представить дробь $\sqrt{\frac{u}{u - 1}}$ в виде суммы двух дробей с неполным числителем:

$$\frac{\sqrt{\frac{u}{u - 1}}}{2} = \frac{A}{\sqrt{u}} + \frac{B}{\sqrt{u - 1}}$$

Шаг 4: Нахождение неизвестных коэффициентов Найдем неизвестные коэффициенты $A$ и $B$. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{u}$ и заменим $u$ на $x^2 + 1$:

$$\sqrt{\frac{u}{u - 1}} = \frac{A}{\sqrt{u}} + \frac{B}{\sqrt{u - 1}}$$

$$\sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} = \frac{A}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{B}{\sqrt{x^2}}$$