Question

На клетчатой бумаге закрашен квадрат из нескольких клеток, стороны которого лежат на линиях сетки. Известно, что чтобы получить больший квадрат с таким условием, нужно дозакрасить 43 клетки. Найдите сторону исходного квадрата.

Answer 1

Площадь меньшего квадрата: S = a² (кл.²)
Площадь большего квадрата: S₁ = a₁² = (a+x)² (кл.²), 
где х - разница в длине стороны большего и меньшего квадратов.

Так как S₁ = S+47, то:
                                     (a + x)² = a² + 47
                                     a² + 2ax + x² = a² + 47
                                     x(2a + x) = 47   

Так как 47 - простое число, то существует единственное разложение этого числа на множители:
                                     47 = 47*1
Следовательно, х = 1  и  2а = 46
                                            а = 23 (кл.)        а+1 = 24 (кл.)

Проверим:
                    24² - 23² = 47
                   576 - 529 = 47
                             47 = 47   

Ответ: сторона исходного квадрата 23 клетки. 

Answer 2

Обозначим через $n$ сторону исходного квадрата в клетках. Тогда его площадь равна $n^2$. Если для получения большего квадрата необходимо дозакрасить 43 клетки, то его площадь будет равна $(n+k)^2$, где $k$ — длина стороны добавляемого квадрата в клетках.

Из условия задачи имеем $(n+k)^2=n^2+43$. Раскрывая скобки, получаем:

$n^2+2nk+k^2=n^2+43,$

откуда

$k^2+2nk-43=0.$

Решая квадратное уравнение относительно $k$, получаем

$k=\frac{-2n\pm\sqrt{(2n)^2+4\cdot43}}{2}=-n\pm\sqrt{n^2+43}.$

Поскольку $k$ — целое число, то $n^2+43$ должно быть полным квадратом. Минимальным значением $n$, при котором это выполняется, является $n=6$, так как при этом $n^2+43=79=8^2$. Проверка показывает, что в этом случае $k=2$, и исходный квадрат имеет сторону $n=\boxed{6}$.