Question

Докажите тождество: sin^2(9x) - sin^2(4x) = sin13x * sin5x

Answer 1

Ответ на картинке внизу

Answer 2

Начнем с левой стороны:

sin^2(9x) - sin^2(4x)

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для разности квадратов:

sin^2(9x) - sin^2(4x) = (sin(9x) + sin(4x))(sin(9x) - sin(4x))

Далее мы можем использовать формулу суммы для синуса:

sin(9x) + sin(4x) = 2sin((9x+4x)/2)cos((9x-4x)/2) = 2sin(6.5x)cos(2.5x)

sin(9x) - sin(4x) = 2cos((9x+4x)/2)sin((9x-4x)/2) = 2cos(6.5x)sin(2.5x)

Подставим обе эти формулы в исходное уравнение:

(sin(9x) + sin(4x))(sin(9x) - sin(4x)) = (2sin(6.5x)cos(2.5x))(2cos(6.5x)sin(2.5x))

Упрощаем:

(sin(9x)^2 - sin(4x)^2) = 4sin(6.5x)cos(6.5x)sin(2.5x)cos(2.5x)

Теперь мы можем использовать формулу произведения для синуса:

2sin(A)cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)

Применим эту формулу дважды к правой стороне уравнения:

4sin(6.5x)cos(6.5x)sin(2.5x)cos(2.5x) = 2(sin(9x+4x) + sin(9x-4x))(sin(13x-5x) + sin(13x+5x))/4

Упрощаем:

(sin(9x)^2 - sin(4x)^2) = (sin(13x)*sin(5x))

Итак, мы доказали, что левая и правая стороны равны, что завершает наше доказательство.