Question

Квадратный трехчлен ax²+bx+c (a,b и c – действительные числа) имеет два различных ненулевых корня: 1 и q. После того, как Никитаизменил значение какого-то из коэффициентов: a, b или c, получилсятрехчлен, имеющий два различных корня: 2 и 3q. Найдите наибольшеезначение q.

Answer 1

Так как корни квадратного уравнения  $ax^2+bx+c$ являются числа  $1;q$,  то данный трехчлен можно представить  в виде 
$(x-1)(x-q)=x^2+x(-q-1)+q$ ,  по второму условию следует что можно представить в виде 
$x^2+x(-3q-2)+6q$ , по условию он поменял только одну переменную ,  очевидно  что  $6q>q$  , тогда следует что только 
$-q-1=-3q-2\\ q=-0.5$

Answer 2

Известно, что квадратный трехчлен ax²+bx+c имеет два различных ненулевых корня: 1 и q. Это означает, что уравнение ax²+bx+c=0 можно записать в виде (x-1)(x-q)=0.

Разложим новый трехчлен на множители по его корням: (x-2)(x-3q)=0.

Поскольку трехчлены одинаковы при x=1 и x=q, то их коэффициенты должны быть равны:

a+b+c = a(1+q)+b+c = 0, 4a+2b+c = a(4+9q)+b(2-3q)+c = 0.

Выразим c из первого уравнения: c=-a-b.

Подставим это выражение для c во второе уравнение:

4a+2b-a(4+9q)-b(2-3q)-(a+b)=0.

Упростим выражение:

3a+6b+13aq-5bq=0.

Выразим b через a:

b = (15aq-3a)/5.

Подставим это выражение для b в первое уравнение:

a(1+q)+(15aq-3a)/5-a=0.

Упростим выражение:

a(5q+2)=0.

Так как a не равно нулю (иначе это не будет квадратным трехчленом), то получаем:

q=-2/5.

Значение q равно -2/5, и это наибольшее значение q, при котором оба трехчлена имеют два различных корня.