Question

Найдите ранг матрицы 5 4 1 3 3 2 1 1 2 1 1 4 1 3 -2 2

Answer 1

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

$Det=\left|\begin{array}{cccc}5&4&1&3\\3&2&1&1\\2&1&1&4\\1&3&-2&2\end{array}\right| =5*\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|-3*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right| +2*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\3&-2&2\end{array}\right| -1*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\1&1&4\end{array}\right|$

$5*\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|=5*((2*1*2+1*4*3+1*1*(-2))-(1*1*3+1*1*2+2*4*(-2)))=5*((4+12-2)-(3+2-16))=5*(14+11)=5*25=125\neq 0$

Отсюда, ранг матрицы не меньше 3!

$3*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|=3*((4*1*2+1*4*3+3*1*(-2))-(3*1*3+1*1*2+4*4*(-2)))=3*((8+12-6)-(9+2-32))=3*(14+21)=3*35=105$

$2*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\3&-2&2\end{array}\right|=2*((4*1*2+1*1*3+3*2*(-2))-(3*1*3+1*2*2+4*1*(-2)))=2*((8+3-12)-(9+4-8))=2*(-1-5)=2*(-6)=-12$

$1*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\1&1&4\end{array}\right|=1*((4*1*4+1*1*1+3*2*1)-(3*1*1+1*2*4+4*1*1))=(16+1+6)-(3+8+4)=23-15=8$

Тогда

$Det=125-105+(-12)-8=125-125=0$

и отсюда следует, что ранг матрицы меньше 4.

Значит, ранг матрицы равен 3.

Answer 2

Для нахождения ранга данной матрицы, мы можем использовать элементарные преобразования строк и столбцов, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду или каноническому виду. После этого, ранг матрицы будет равен количеству ненулевых строк (или столбцов) в полученной матрице.

Распишем данную матрицу: 5 4 1 3 3 2 1 1 4 1 3 -2 2 2

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

1. Делим первую строку на 5: 1 0.8 0.2 3 3 2 1 1 4 1 3 -2 2 2

2. Вычитаем из второй строки третье: 1 0.8 0.2 2 2 -2 1 1 4 1 3 -2 2 2

3. Вычитаем из третьей строки первую: 1 0.8 0.2 2 2 -2 0 0 3.8 1 3 -2 2 2

4. Вычитаем из четвертой строки первую: 1 0.8 0.2 2 2 -2 0 0 3.8 0 2.2 -2.2 2 2

5. Вычитаем из пятой строки вторую: 1 0.8 0.2 2 2 -2 0 0 3.8 0 2.2 -2.2 0 0

Полученная матрица находится в ступенчатом виде. Количество ненулевых строк равно 4, следовательно, ранг матрицы равен 4.