Question

Для каких натуральных n ( n > 4) наибольший общий делитель чисел n и n - 4 равен 2?

Answer 1

Так как НОД(n, n – 4) = 2, очевидно, что n = 2k, где k > 2 и k ∈ N. 
Тогда НОД(2k, 2(k – 2)) = 2 ⇔ 2НОД(k, (k – 2)) = 2 ⇔ НОД(k, (k – 2)) = 1 ⇔ НОД((k – k + 2), (k – 2)) = 1 ⇔ НОД(2, (k – 2)) = 1. Очевидно, что последнее равенство истинно тогда и только тогда, когда k = 2p + 1, где p ∈ N. 
Таким образом, n = 2k = 2(2p + 1) = 4p + 2, где p ∈ N.

Ответ: n = 4p + 2, где p ∈ N.

Answer 2

Пусть наибольший общий делитель чисел n и n - 4 равен 2. Это означает, что оба числа являются четными, поскольку 2 является единственным простым четным числом.

Можно выразить n - 4 как (n - 2) - 2. Таким образом, n и (n - 2) являются соседними четными числами. Так как нам нужно найти такое n, что НОД(n, n - 4) = 2, то n и (n - 2) не могут иметь других общих делителей, кроме 2.

Поскольку n и (n - 2) являются соседними четными числами, то они не могут иметь общие делители, кроме 2. Таким образом, наибольший общий делитель чисел n и n - 4 равен 2 только тогда, когда n и (n - 2) не имеют общих делителей, кроме 2.

Из этого следует, что n и (n - 2) должны быть взаимно простыми, то есть не иметь других общих делителей, кроме 1 и 2. Это верно только для четных чисел n, которые не делятся на 3.

Таким образом, ответом на вопрос являются все четные натуральные числа n, которые не делятся на 3 и больше 4.