Question

Вычислите приближенное значение(без калькулятора) 1,005^100 а)определение производной функции f(x) в точке х0. б) Геометрическая интерпретация производной функции f(x) в точке х0.

Answer 1

1,005^100

Так как 1,005≈1, а 1^100=1 ⇒1,005^100≈1

Answer 2

а) Чтобы вычислить приближенное значение выражения 1,005^100 без калькулятора, можно использовать приближение с помощью логарифма и экспоненты.

Сначала возьмем натуральный логарифм от обеих сторон выражения: ln(1,005^100) = ln(1,005) * 100

Теперь используем приближенное значение для ln(1,005). Ближайшее значение, которое можно использовать без калькулятора, это ln(1+0,005), где 0,005 - это отклонение от 1.

Известно, что ln(1+x) примерно равен x при малых значениях x. Поэтому ln(1,005) будет примерно равен 0,005.

Теперь мы можем продолжить с нашим выражением: ln(1,005^100) = ln(1,005) * 100 ≈ 0,005 * 100 = 0,5

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон: 1,005^100 ≈ e^0,5

Значение e (основание натурального логарифма) приблизительно равно 2,71828. Теперь мы можем вычислить приближенное значение: e^0,5 ≈ 2,71828^0,5 ≈ √2,71828 ≈ 1,6487

Поэтому приближенное значение выражения 1,005^100 без калькулятора составляет около 1,6487.

б) Геометрическая интерпретация производной функции f(x) в точке x0 состоит в том, что производная в точке x0 является тангенсом угла наклона касательной линии к графику функции в этой точке.

Представим, что у нас есть функция f(x), и мы хотим найти ее производную в точке x0. Мы можем построить касательную линию к графику функции в этой точке. Тангенс угла наклона этой касательной линии будет равен значению производной в точке x0.

Таким образом, геометрическая интерпретация производной функции f(x) в точке x0 заключается в определении угла наклона касательной линии к графику функции в этой точке.