Question

На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М.Известно, что СМ=2АС,угол СВА=15º и угол САВ=45º.Найдите угол АМВВарианты ответа:а)60º;б)65º;в)70º;г)72º;д)75º

Answer 1

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   $180^o \ ,$   легко понять, что   $\angle BCA = 120^o \ .$

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    $\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$

Проведём   $CN$   так, чтобы   $\angle BCN = 45^o \ .$

Тогда   $\angle CNB = 120^o \ .$

Опять же из соотношения синусов:

[2]    $\frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$


Перемножим выражения [1] и [2]:

$\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$

$\frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ;$

[3]   $AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ;$


Учитывая, что:   $\sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$   и   $\sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ,$   а значит:

$\sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4}$   и   $\sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ ,$   получим из выражения [3] :

$AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ;$

$AB = NB \frac{3}{2} \ ;$

$NB = \frac{2}{3} AB \ ;$


Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

$NA = \frac{1}{3} AB \ ;$

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

$MB || CN \ ;$

$\angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ;$


О т в е т :  (Д)     $75^o \ .$

Answer 2

Давайте решим эту задачу.

У нас есть треугольник АВС, и точка М на продолжении стороны АС. Также известно, что СМ = 2АС, угол СВА = 15º и угол САВ = 45º. Мы должны найти угол АМВ.

Давайте разберемся по шагам:

1. Начнем с построения треугольника АВС и точки М на продолжении стороны АС.

   

2. Так как СМ = 2АС, то точка М находится на продолжении стороны АС в 2 раза дальше, чем точка С. Поэтому МС = СА + АС.

   

3. Теперь мы можем использовать известные углы, чтобы найти угол ВАМ. Угол ВАМ равен сумме угла САВ и угла САМ. Угол САВ = 45º, поэтому нам нужно найти угол САМ.

4. У нас есть угол САМ, потому что угол САМ = 180º - угол МСА - угол САМ. Угол МСА равен 180º - 45º - 15º = 120º.

5. Теперь мы можем найти угол САМ, который равен 180º - 120º - 45º = 15º.

6. Угол ВАМ = угол САВ + угол САМ = 45º + 15º = 60º.

Итак, угол АМВ равен 60º. Ответ: а) 60º.