Question

Дослідити функцію y=(4(x+1)^2)/(x^2+2x+4) і побудувати графік

Answer 1

ДАНО

Y = 4*(x²+2x+1)/(x² +2x+ 4)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х∈(-∞;+∞).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = -1. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 1. 

4. Поведение на бесконечности.  

$\lim_{x \to \infty} \frac{4*(1+ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} )}{1+ \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} }=4$

limY(+∞) = 4. 

Горизонтальная асимптота - Y = 4.

5. Исследование на чётность.

Y(-x) ≠  Y(x). Y(-x) ≠ - Y(x)

Функция ни  чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.

$Y'(x)= \frac{8(x+1)}{x^2+2x+4}- \frac{8*(x+1)(^2+2x+1)}{(x^2+2x+4)^2}$

Корень при Х=-1. 

Схема знаков производной.

(-∞)__(<0-убыв)__(х= -1)_(<0-убыв)__(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимума - нет, минимум  – Ymin(-1)  = 0.

8. Интервалы монотонности. 

Убывает - Х∈(-∞;-1]. Возрастает - Х∈[-1;+∞)

9. Вторая производная - Y"(x).

Корни производной - точки перегиба:  х1 =-2, х2= 0. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;-2)∪(0;+∞), 

Вогнутая – «ложка» Х∈(-2;0). 

10. Область значений Е(у) У∈[0;4) 

11. График в приложении

Answer 2

Для дослідження функції, спочатку розкладемо знаменник під дією квадрата бінома, щоб легше було знаходити області визначення та поведінку функції:

y = (4(x+1)^2)/(x^2+2x+4) = 4(x+1)^2/[(x+1)^2+3]

Область визначення функції - усі значення x, для яких знаменник не дорівнює нулю, тобто (x+1)^2+3 ≠ 0. Тобто можна побачити, що функція визначена на всій числовій прямій.

Для знаходження інтервалів зростання та спадання функції, обчислимо її похідну:

y' = [8(x+1)(x^2+2x+4) - 4(x+1)^2(2x+2)]/(x^2+2x+4)^2 = [4(x+1)(x^2-2x+4)]/(x^2+2x+4)^2

Знаменник завжди додатний, тому знак похідної залежить від чисельника. Щоб знайти нулі похідної, розв'яжемо рівняння 4(x+1)(x^2-2x+4) = 0. Отримаємо x = -1 або x = ±√2.

Таким чином, функція має екстремум у точках x = -1 та x = ±√2.

Для визначення типу цих екстремумів, можна застосувати другу похідну:

y'' = [12(x^2-2x+4)(x^2+6x+7) - 32(x^2-2x+4)(x+1)^2]/(x^2+2x+4)^3 = 4(x^2-2x+4)[3(x^2+6x+7) - 8(x+1)^2]/(x^2+2x+4)^3

У точках x = -1 та x = ±√2, друга похідна дорівнює 48/25, -48/25 та 24/25 відповідно. Отже, в точках x = ±√2 маємо локальні мінімуми, а в точці x = -1 - локальний максимум.

Тепер побудуємо графік функції, використов