Question

В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди 12 любых грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Answer 1

Груздей не больше 12 - 1 = 11 (иначе можно было бы взять 12 грибов, среди которых ни одного рыжика), рыжиков — не больше 20 - 1 = 19 (аналогично). Если бы груздей было меньше 11 или рыжиков меньше 19, то всего грибов было бы меньше 11 + 19 = 30, что не так. Значит, груздей ровно 11, рыжиков ровно 19.

Answer 2

Предположим, что в корзине есть $r$ рыжиков и $g$ груздей. Тогда мы знаем, что:

• $r+g=30$ (общее количество грибов в корзине равно 30)
• В любой группе из 12 грибов хотя бы 1 рыжик. Это означает, что в оставшихся 11 грибах не может быть всех груздей, иначе бы в группе не было бы рыжиков. Таким образом, в каждой группе из 11 грибов должен быть хотя бы 1 рыжик. Мы можем использовать это условие, чтобы записать неравенство: $(r-1)/(g+11) \geq 1$, так как если бы $(r-1)/(g+11) < 1$, то это означало бы, что в группе из 12 грибов может не быть рыжика.
• В любой группе из 20 грибов хотя бы 1 груздь. Это означает, что в оставшихся 19 грибах не может быть всех рыжиков, иначе бы в группе не было бы груздей. Таким образом, в каждой группе из 19 грибов должен быть хотя бы 1 груздь. Мы можем использовать это условие, чтобы записать неравенство: $(g-1)/(r+19) \geq 1$, так как если бы $(g-1)/(r+19) < 1$, то это означало бы, что в группе из 20 грибов может не быть груздя.

Решая систему неравенств, получаем:

• $(r-1)/(g+11) \geq 1$ эквивалентно $r-1 \geq g+11$ или $r-g \geq 12$
• $(g-1)/(r+19) \geq 1$ эквивалентно $g-1 \geq r+19$ или $g-r \geq 20$

Из первого уравнения мы видим, что $r \geq g+12$. Из второго уравнения мы видим, что $g \geq r+20$. Объединяя эти неравенства, получаем:

$g+12 \leq r \leq g+19$

Теперь мы можем попробовать различные значения $g$ в этом диапазоне и проверить, удовлетворяет ли это нашим ограничениям.

Если $g=12$, то $r=24$, что удовлетворяет всем ограничениям. Если $g=13$, то $r$ должно быть от 25 до 32, но тогда сумма будет больше 30. Если $g=14$, то $r$ должно быть от 26 до