Question

в равнобедренной трапеции один из углов равен 45 градусов, а высота проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 4 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Получается, если высота делит основание на отрезки 4 и 12, следовательно меньшее основание равно 8(т.к. 2 высоты должны будут делить в соотношении 4, х, 4, где х это 12-4=8)
т.к угол при основании 45 градусов значит градусные меры в треугольнике, образованном высотой будут равны: 45,90,45 => треугольник прямоугольный и равнобедренный, значит катеты равны, если 1 катет равен 4 значит и второй катет(высота) равна 4
формула площади S= (a+b)/2 *h= (8+16)/2 * 4= 12*4=48

Answer 2

Давайте обозначим основания трапеции следующим образом: меньшее основание - $a$, большее основание - $b$. Также пусть высота, проведенная из вершины тупого угла, будет равна $h$.

Поскольку трапеция равнобедренная, то противоположные боковые стороны равны. Поэтому давайте обозначим длину одной из боковых сторон через $x$.

Проведем высоту из вершины тупого угла и обозначим точку ее пересечения с большим основанием как $O$. Таким образом, мы разделили большее основание на два отрезка: $OA$ длиной 4 см и $OB$ длиной 12 см.

Так как треугольник $OAB$ является прямоугольным, то мы можем использовать его для нахождения $x$ с помощью теоремы Пифагора:

$x^2 = OB^2 - OA^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128$ $x = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$

Теперь, используя длины оснований и боковой стороны, мы можем найти площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$

Заметим, что высота трапеции и высота треугольника $OAB$ совпадают, поскольку это одна и та же прямая. Поэтому площадь треугольника $OAB$ равна: $S_{OAB} = \frac{(OA + OB) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 12) \cdot h}{2} = 8h$

Таким образом, площадь трапеции равна площади треугольника $OAB$ плюс площадь параллелограмма, который образуется при "сращивании" двух треугольников $OAB$ и $OBC$. Площадь параллелограмма равна $x \cdot h$.

Итак, площадь трапеции равна: $S = S_{OAB} + x \cdot h = 8h + (8\sqrt{2})h = (8 + 8\sqrt{2})h$

Теперь нам необходимо выразить $h$ через известные величины.

Рассмотрим треугольник $OBC$. В нем у нас есть две стороны: (x = 8