Question

Найти вероятность того что при 180 бросании игральной кости число 6 выпадет менее 28 раз

Answer 1

Рассматриваем схему испытаний Бернулли (число испытаний n-180) с вероятностью успеха p= 1/6 (вероятность выпадания числа 6). Успехом считаем выпадание числа 6. Матожидание числа успехов М=n*p=180*1/6=30. Дисперсия D=n*p*(1-p)=30*(1-1/6)=25. Обосначим mu=28, теперь P(mu<28)=P((mu-M)/(√D))≥(mu-n*p)/√(n*p*(1-p))=P(((mu-M)/(√D))≥(28-30)/√25)=1/√6.28* $*\int\limits^0_0.4 {exp(-x^2/2)} \, dx$, dx=0.5-0.15542=0.345.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Предположим, что вероятность выпадения шестерки на каждом броске равна 1/6, и все броски являются независимыми друг от друга.

Тогда число успехов (выпадений шестерки) в 180 бросках является биномиально распределенной случайной величиной X с параметрами n = 180 и p = 1/6.

Вероятность того, что число успехов X будет меньше 28, можно вычислить, используя функцию распределения вероятностей биномиального распределения.

Функция распределения вероятностей биномиального распределения F(x) выглядит следующим образом:

F(x) = P(X ≤ x) = ∑(k=0 до x) (n choose k) p^k (1-p)^(n-k)

где "n choose k" обозначает число сочетаний из n элементов по k, а P(X ≤ x) обозначает вероятность того, что X не превышает x.

Таким образом, чтобы найти вероятность того, что число шестерок будет меньше 28, мы можем вычислить функцию распределения вероятностей для x = 27:

F(27) = P(X ≤ 27) = ∑(k=0 до 27) (180 choose k) (1/6)^k (5/6)^(180-k)

Это можно вычислить с помощью программы, калькулятора или таблицы стандартного нормального распределения. Например, в Python это можно сделать следующим образом:

makefileCopy code
import scipy.stats as stats

n = 180
p = 1/6
x = 27

binom_dist = stats.binom(n, p)
prob = binom_dist.cdf(x)

print(prob)

Ответ: вероятность того, что при 180 бросании игральной кости число 6 выпадет менее 28 раз, составляет около 0.0012 или 0.12%.