Question

Исследовать функцию и построить график. Подробно и с решением) y = 3x - x³

Answer 1

Исследование функции: y(x)=3x-x^3
1) Область определения: (-∞;∞)
2) Четность, нечетность функции:
y(-x)=-3x+x^3=-y(x) -› функция нечётная.
3) Точки пересечения с осями:
Ох: у=0,.......Оу: х=0
3х-х^3=0........у=0
х(3-х^2)=0
х=0, х=±√3
Ох: (0;0), (√3;0), (-√3;0)
Оу: (0;0)
4) Асимптоты: нету
5) Точки экстремума:
у'=3-3х^2
3х^2=3
Х^2=1
х=±1
Рисуем интервал, оттуда выйдет:
х(min)=-1, x(max)=1.
6) Выпуклость и вогнутость:
у''=-6х
х=0. Также рисуем интервал, оттуда: (-∞;0) - функция вогнута, (0;∞) - функция выпукла.
7. График функции:

Answer 2

Для начала, мы можем проанализировать данную функцию и найти ее основные характеристики, такие как:

• Область определения (Domain)
• Область значений (Range)
• Нули функции (Zeros of the function)
• Точки пересечения с осями координат (Intercepts with the axes)
• Экстремумы (Extrema)
• Наклон (Slope)
• Вогнутость/выпуклость (Convexity/Concavity)

Для начала, найдем нули функции:

y = 3x - x³ 0 = 3x - x³ 0 = x(3 - x²) x = 0 или x = ±√3

Таким образом, нули функции находятся в точках (0, 0), (√3, 3√3 - 3) и (-√3, -3√3 - 3).

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью OX: y = 0 => 3x - x³ = 0 => x(3 - x²) = 0 => x = 0 или x = ±√3. Таким образом, точки пересечения находятся в точках (0, 0), (√3, 0) и (-√3, 0).
• Пересечение с осью OY: x = 0 => y = 0.

Далее, найдем наклон функции:

y' = 3 - 3x²

На основании значения производной в точках x = -√3, 0, √3, можем сделать вывод, что функция возрастает на (-∞, -√3) и (0, √3), и убывает на (-√3, 0) и (√3, +∞).

Теперь найдем экстремумы функции:

y'' = -6x

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Критические точки функции y = 3x - x³ находятся при x = ±1.

Теперь можно проанализировать вогнутость/выпуклость функции:

y''' = -6

Таким образом, функция y = 3x - x³ является выпуклой на всей области определения.

Итак, мы получили следующую информацию о функции y = 3x - x³:

• Domain: (-∞, +∞)
• Range: (-∞, +∞)
• Zeros: (0, 0), (√3, 3√3 - 3) and (-√3, -3√3 - 3)
• Intercepts with the axes: (0, 0), (√3, 0) and (-√3, 0)
• Extrema: (-1, -2), (1,