Question

Исследовать функцию и построить её график y=1/3x^3-9

Answer 1

ДАНО
Y = 1/3*X³ - 9 
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - Х∈(-∞;+∞)
2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 3.
3. Пересечение с осью У.  У(0) = 9.
4. Поведение на бесконечности.
limY(-∞) = - ∞ и limY(+∞) = +∞
5. Исследование на чётность.
Y(-x) = -x³/3 + 9 ≠ Y(x).
Функция ни чётная ни нечётная.
6. Производная функции.
Y'(x)= x²
7. Корень при Х=0.
Возрастает - Х∈(-∞;+∞) - везде
8. Вторая производная
Y"(x) = 2x
9. Точка перегиба
Y"(x)=0 при X=0.
10. График в приложении.

Answer 2

Для начала давайте построим график функции y = (1/3)x^3 - 9. Для этого мы можем использовать программу для построения графиков, например, Wolfram Alpha или Desmos. Вот как выглядит график этой функции:

Теперь давайте проанализируем эту функцию более подробно.

1. Область определения функции: функция определена для любого x.

2. Знак функции: заметим, что коэффициент при x^3 равен положительному числу 1/3, что означает, что функция возрастает на всей числовой оси. Также мы можем заметить, что константа -9 отнимается от значения функции для любого x, что означает, что график функции сдвинут вниз на 9 единиц.

3. Точки пересечения с осями координат: чтобы найти точки пересечения с осью x, мы должны решить уравнение (1/3)x^3 - 9 = 0. При решении этого уравнения мы получим три корня: x = -6, x = 0 и x = 6. Таким образом, функция пересекает ось x в точках (-6,0), (0,-9) и (6,0). Чтобы найти точку пересечения с осью y, мы можем подставить x = 0 в уравнение функции и получим y = -9.

4. Экстремумы функции: производная функции y = (1/3)x^3 - 9 равна y' = x^2, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 0. Также мы можем заметить, что функция не имеет локальных максимумов на всей числовой оси.

5. Асимптоты: так как функция не имеет знаменателя, то она не имеет вертикальных асимптот. Горизонтальная асимптота определяется формулой y = 0x + c, где c - это предел функции при x стремящемся к бесконечности. Но так как функция возрастает на всей числовой оси, то предел функции при x стремящемся к бесконечности не существует. Таким образом, у функции нет горизонтальных асимптот.

Это основные характеристики функции y = (1/3)x^3 - 9, которые мы можем определить.