Question

Серёжа задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа , но точно помнит, что их сумма равна 22,а про разность абсолютно уверен, что она меньше 14,но больше 10. Какие два числа задумал Серёжа ? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Answer 1

Разность от 10 до 14 - значит, 11, 12 или 13.
Если разность 11
a+b=22
a-b=11
2a=33; a=16,5 - не может быть.
Если разность 12
a+b=22
a-b=12
2a=34; a=17; b=5 - это решение.
Если разность 13
a+b=22
a-b=13
2a=35; a=17,5 - не может быть.
Единственное решение (17; 5).
Если разность могла быть 10 или 14, то добавляются решения: (16; 6) и (18; 4).

Answer 2

Пусть задуманные числа - $x$ и $y$, где $x>y$. Тогда из условия задачи:

$x+y=22$,

$|x-y|<14$, $|x-y|>10$.

Рассмотрим два случая:

1. $x-y>0$ (т.е. $x>y$)

Тогда из второго условия получаем:

$x-y<14$, $x-y>10$,

$y+10<x<y+14$.

Также, из первого условия следует:

$x+y=22$, $x=22-y$.

Следовательно,

$y+10<22-y<y+14$,

$2y<12$, $y<6$.

Таким образом, возможны следующие пары чисел:

$(11,11)$, $(10,12)$, $(9,13)$, $(8,14)$, $(7,15)$, $(6,16)$.

2. $x-y<0$ (т.е. $x<y$)

Аналогично, из второго условия получаем:

$y-x<14$, $y-x>10$,

$y+10<x<y+14$.

Из первого условия:

$x+y=22$, $y=22-x$.

Следовательно,

$y+10<22-x<y+14$,

$2x<12$, $x<6$.

Таким образом, возможны следующие пары чисел:

$(11,11)$, $(12,10)$, $(13,9)$, $(14,8)$, $(15,7)$, $(16,6)$.

Итак, возможные пары чисел, которые мог задумать Сережа, это $(11,11)$, $(10,12)$, $(9,13)$, $(8,14)$, $(7,15)$, $(6,16)$.

Докажем, что других пар чисел, удовлетворяющих условиям задачи, не существует. Действительно, из первого условия следует, что $x$ и $y$ должны быть меньше 22. Тогда $x+y<44$, а из второго условия следует, что $x-y>10$, т.е. $x>y+10$. Значит, $x+y<2y+32<44$, т.е. $y<6$. Таким образом, $y$ может быть только одним из чисел 1, 2, 3, 4, 5. Но для каждого из этих чисел значение $x$ не удовлетворяет условию $x>y+10$. Таким образом, других пар чисел, удовлетворяющих условиям задачи, не существует.