Question

Найдите сумму всех двузначных чисел 1/2+1/3+...+1/n при различных n. Получилось ли целое число?

Answer 1

Целое число не выйдет никак и никогда. Это уже доказано. 
Такая последовательность называется гармоническим рядом

Для n = 1 имеем 1\2

Для n = 2 имеем 1\2 + 1\3 = 5\6

Для n = 3 имеем 1\2 + 1\3 + 1\4 = 5\6 + 1\4 = 13\12

Answer 2

Для решения данной задачи найдем сумму ряда 1/2 + 1/3 + ... + 1/n, где n принимает значения от 2 до 99.

Сначала найдем общий знаменатель для всех дробей, чтобы сложить их:

1/2 + 1/3 + ... + 1/n = (n/2n) + (2n/3n) + ... + (n/n) = (n + 2n + 3n + ... + n) / (2n * 3n * ... * n)

Можно заметить, что числитель является арифметической прогрессией со знаменателем n и последним членом n. Сумма арифметической прогрессии равна (первый член + последний член) * (количество членов) / 2, поэтому:

Числитель = (n + n) * (n - 1) / 2 = 2n * (n - 1) / 2 = n * (n - 1)

Знаменатель содержит произведение всех чисел от 2 до n, то есть факториал (n - 1)!:

Знаменатель = (2n * 3n * ... * n) = (2 * 3 * ... * (n - 1)) = (n - 1)!

Теперь мы можем записать сумму в виде:

1/2 + 1/3 + ... + 1/n = (n * (n - 1)) / ((n - 1)!)

Рассмотрим каждое значение n от 2 до 99 и найдем соответствующие значения числителя и знаменателя:

n = 2: 2 * (2 - 1) / (2 - 1)! = 2 * 1 / 1 = 2/1 = 2 n = 3: 3 * (3 - 1) / (3 - 1)! = 3 * 2 / 2 = 3/1 = 3 n = 4: 4 * (4 - 1) / (4 - 1)! = 4 * 3 / 6 = 2/1 = 2 n = 5: 5 * (5 - 1) / (5 - 1)! = 5 * 4 / 24 = 5/6 n = 6: 6 * (6 - 1) / (6 - 1)! = 6 * 5 / 120 = 1/4 ... n = 99: 99 * (99 - 1) / (99 - 1)! = 99 * 98 / 98! = 1/99

Мы видим, что для значений n от 2 до 4 и для n = 99 получается целое число, а для остальных значений n получается обычная дробь. Таким образом, сумма всех двузначных чисел равна:

2 + 3 + 2/3 + 5/6 + 1/4 + ... + 1/99