Question

Реши неравенство x-1/x^2-5x+6 ,больше или равно 2

Answer 1

$\frac{x-1}{ x^{2} -5x+6} \geq 2$

$\frac{x-1}{ x^{2} -5x+6} -2 \geq 0,$

$\frac{x-1-2 x^{2} +10x-12}{ x^{2} -5x+6} \geq 0,$

$\frac{-2 x^{2} +11x-13}{ x^{2} -5x+6} \geq 0$

Найдем нули числителя: решаем квадратное уравнение

2х²-11х+13=0
D=b²-4ac=121-4·2·13=121-104=17
x₁=(11-√17)/4    x₂=(11+√17)/4

Найдем нули знаменателя: решаем квадратное уравнение:
х²-5х+6=0
D=b²-4ac=25-24=1
х₃=2    х₄=3

Отметим найденные значения на числовой прямой
                                   -       +   2   -         3    +        -
--------------0-------1------Ι-----о---------- о------Ι---------------
                               (11-√17)/2                        (11+√17)/2

Четыре точки разбили числовую прямую на пять промежутков
знаки в каждом из промежутков: -  +  - + -

Ответ. [(11-√17)/2; 2) υ(3; (11+√17)/2]

Answer 2

$\frac{x-1}{x^2-5x+6} \geq 2 \\ \frac{(x-1)-2(x^2-5x+6)}{(x^2-5x+6)} \geq 0 \\ \frac{-2x^2+9x-13}{(x-2)(x-3)} \geq 0 \\ \frac{ 2x^2-9x+13}{(x-2)(x-3)} \leq 0$
D числителя меньше 0 ⇒ корней в числителе нет и выражение всегда положительное. Значит, работаем со знаменателем:
2<x<3

Answer 3

Для решения данного неравенства нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений переменной x, при которых знаменатель дроби отличен от нуля. Для этого нужно решить квадратное уравнение в знаменателе:

   x^2 - 5x + 6 = 0

   Получаем корни x1 = 2 и x2 = 3. Поэтому область допустимых значений x: x ∈ (-∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).

2. Выяснить знак выражения x - 1. Для этого решим уравнение x - 1 = 0, получаем x = 1. Значит, при x < 1 выражение x - 1 отрицательно, при x > 1 - положительно.

3. Исследовать знак выражения x^2 - 5x + 6. Для этого найдём корни квадратного уравнения в знаменателе: x1 = 2, x2 = 3. Поэтому выражение x^2 - 5x + 6 может быть представлено в виде (x - 2) * (x - 3). Таким образом, при x < 2 и при x > 3 это выражение положительное, при x > 2 и при x < 3 - отрицательное.

4. Решить неравенство.

   Если x < 1, то x - 1 < 0. Также x^2 - 5x + 6 > 0, так как x < 2 или x > 3. Значит, исходная дробь отрицательна, и неравенство не выполняется.

   Если x = 1, то исходная дробь равна 0, что меньше 2. Значит, и в этом случае неравенство не выполняется.

   Если 1 < x < 2, то x - 1 > 0, а x^2 - 5x + 6 > 0. Значит, исходная дробь положительна, и неравенство не выполняется.

   Если 2 < x < 3, то x - 1 > 0, а x^2 - 5x + 6 < 0. Значит, исходная дробь отрицательна, и неравенство не выполняется.

   Если x > 3, то x - 1 > 0, а x^2 - 5x + 6 > 0. Значит, исходная дробь положительна, и неравенство выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является множество x ∈ (3, +∞).