Question

Исследовать свойства функции и построить ее график y= -x^3+12x^2-45x+47

Answer 1

ДАНО:Y(x) = -x³ + 12*x² -45*x + 47

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Пересечение с осью OХ.  

x₁ = 1.72 - без комментариев. Двух других нулей - нет.

3. Интервалы знакопостоянства.

Y>0  x∈(-∞;x₁= 1.72)   Y<0 x∈(x₁=1.72;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   47

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  -3*x² + 24*x - 45 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =5    Х₅=3

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  5) = -3.   Минимум - Ymin(X₅ = 3) = -7

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает Х∈(-∞;3;]U[5;+∞) ,возрастает - Х∈[3;5]

12. Вторая производная - Y"(x) = -6* x + 24 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆ = 4

13. Выпуклая “горка» Х∈(Х₆ = 4;+∞)

Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;Х₆ = 4).

14. График в приложении.

Answer 2

Для начала, проанализируем свойства функции y = -x^3 + 12x^2 - 45x + 47:

1. Определим область определения функции: функция определена на всей числовой прямой.

2. Найдем производную функции: y' = -3x^2 + 24x - 45.

3. Найдем точки, в которых производная равна нулю: -3x^2 + 24x - 45 = 0 x = (24 ± √(24^2 - 4(-3)(-45))) / (2(-3)) x1 ≈ 2.191, x2 ≈ 6.474

4. Найдем значения функции в найденных точках и в крайних точках отрезка: y(2.191) ≈ 11.66, y(6.474) ≈ 70.78, y(0) = 47, y(∞) = -∞.

5. Найдем вторую производную функции: y'' = -6x + 24.

6. Определим знак второй производной на каждом из интервалов между точками, где производная равна нулю:

• на (-∞, 2.191): y'' < 0, функция выпуклая вниз;
• на (2.191, 6.474): y'' > 0, функция выпуклая вверх;
• на (6.474, +∞): y'' < 0, функция выпуклая вниз.

7. Построим график функции:

Из графика видно, что функция имеет один локальный максимум и два локальных минимума. Точки максимума и минимума соответствуют точкам, в которых производная функции равна нулю. Также видно, что функция является четной, то есть симметричной относительно оси ординат.