Question

Помогите пожалуйста, кто знает! Надо найти точки локальных экстремумов функции и определить их вид. f (x;y) = x^2 - 5y^2+xy+3x-51y+5

Answer 1

Точки локальных экстремумов у функций нескольких переменных определяют так:

1) обе частных первых производных должны быть равны 0.

dz/dx = 2x + y + 3 = 0

dz/dy = -10y + x - 51 = 0

Решаем систему. 1 уравнение умножаем на 10.

20x + 10y + 30 = 0

x - 10y - 51 = 0

Складываем уравнения

21x - 21 = 0

x = 1; y = -3 - 2x = -3 - 2 = -5

Критическая точка (1; -5).

2) Находим производные 2 порядка

A = d2z/dx^2 = 2 > 0

B = d2z/(dxdy) = 1

C = d2z/dy^2 = -10

D = AC - B^2 = 2(-10) - 1^2 = -21 < 0

Так как D < 0, то экстремума в этой точке нет.

Если бы было D > 0, A > 0, была бы точка минимума.

Answer 2

Для того чтобы найти локальные экстремумы функции f(x, y), необходимо решить систему уравнений, состоящую из частных производных этой функции по x и y, приравнянных к нулю:

∂f/∂x = 2x + y + 3 = 0 ∂f/∂y = -10y + x - 51 = 0

Решим эту систему методом исключения неизвестных:

2x + y + 3 = 0 x = 10y + 51

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

2(10y + 51) + y + 3 = 0

Решая это уравнение, находим:

y = -4

Затем, подставляя найденное значение y в любое из уравнений системы, находим соответствующее значение x:

x = 10y + 51 = 10*(-4) + 51 = 11

Таким образом, точка локального минимума функции f(x, y) равна (-4, 11).

Для того чтобы определить тип этого экстремума, воспользуемся матрицей Гессе функции f(x, y):

H = | 2 1 | | 1 -10 |

Вычислим её определитель и след:

det(H) = (-10)2 - 11 = -21 tr(H) = 2 - 10 = -8

Значение определителя отрицательное, а значение следа также отрицательное. Это означает, что точка (-4, 11) является точкой максимума функции f(x, y).