Question

Вася разрезал прямоугольник на несколько прямоугольников,периметр каждого из которых-целое число см.Верно ли,что периметр исходного прямоугольника-тоже целое число см?Если да,то докажите это,если нет,то приведите опровергающий пример.Помогите решить с пояснениями(заранее спасибо)!

Answer 1

Допустим Вася разрезал прямоугольник на 4 части, а размер 1 части 4 см на 
2 см
Р=2*(2+4)=12 (см)- 1 части целое число
Находим периметр всех частей
Р=12*4=48 (см) - данного прямоугольника целое число

Answer 2

Пусть исходный прямоугольник имеет длину $a$ и ширину $b$ (в сантиметрах), а периметр равен $2a+2b$. Предположим, что каждый из прямоугольников, на которые он был разрезан, имеет периметр, равный целому числу сантиметров.

Обозначим периметры этих прямоугольников через $p_1, p_2, \ldots, p_n$. Тогда мы можем записать:

$$2a + 2b = p_1 + p_2 + \ldots + p_n.$$

Заметим, что каждый периметр $p_i$ является четным числом, так как он равен $2l_i + 2w_i$, где $l_i$ и $w_i$ - длина и ширина соответствующего прямоугольника, и поэтому $2a+2b$ также является четным числом.

Таким образом, мы доказали, что если каждый из прямоугольников, на которые был разрезан исходный прямоугольник, имеет периметр, равный целому числу сантиметров, то периметр исходного прямоугольника также является целым числом.

Опровергнуть это утверждение можно приведя контрпример. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a=1$ и $b=2$. Его периметр равен $2a+2b=6$. Можно разрезать его на два прямоугольника с размерами $1\times 1$ и $1\times 3$. Периметры этих прямоугольников равны $4$ и $8$ соответственно, и их сумма равна $12$, что не является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное утверждение не всегда верно, и привели контрпример.