Question

Различные ненулевые числа x и y удовлетворяют равенству x^4-2018x^3-2018y^2x=y^4-2018y^3-2018yx^2. Найдите сумму x+y.

Answer 1

После сокращения всего примера, должно получиться x+y=2018
Хз, может это правильно

Answer 2

Заметим, что левая и правая части данного уравнения симметричны относительно замены x и y, т.е. если мы поменяем местами x и y, то равенство не изменится. Поэтому, не ограничивая общности, можем считать, что x ≥ y.

Перепишем данное уравнение в виде:

x^4 - 2018x^3 - 2018y^2x + 2018yx^2 = y^4 - 2018y^3

Выразим x^2 и y^2 через x и y:

x^2 = y^2 + (2018x^3 - 2018yx)/(x - y) y^2 = x^2 + (2018y^3 - 2018yx)/(y - x)

После подстановки x^2 и y^2 получим следующее уравнение:

x^2 - y^2 = (2018x^3 - 2018yx)/(x - y) - (2018y^3 - 2018yx)/(y - x)

Приведя к общему знаменателю и упростив, получаем:

(x + y)(x^2 + y^2) = 2018(x + y)(x^2 + y^2 - xy)

Так как x и y ненулевые, то можем сократить на (x + y) и получаем:

x^2 + y^2 = 2018(x^2 + y^2 - xy)

Выразим xy через x^2 и y^2:

xy = (2018x^2 + 2018y^2 - x^2 - y^2)/2 = 1009(x^2 + y^2) - (x - y)^2/2

Заметим, что выражение xy является положительным, так как x и y ненулевые и по условию x ≥ y. Также заметим, что выражение (x - y)^2/2 является неотрицательным. Поэтому:

xy ≥ 1009(x^2 + y^2)

Из этого неравенства следует, что x^2 + y^2 ≥ 0, и равенство достигается только при x = y = 0. Но так как x и y ненулевые, то неравенство строгое, т.е.

x^2 + y^2 > 0

Теперь можем выразить x + y через x^2 + y^2 из уравнения, полученного ранее:

x + y = 2018(x^2 + y^2 - xy)/(x^2 + y^2)

Подставляем xy:

x + y = 2018(x^2 + y^2 - 1009(x^2 + y^2) + (x - y)^2/2)/(x^2 + y^2)

Упрощаем и получаем:

x + y = 1009 + (x - y)^2/(2(x^2 + y^2))

Заметим,