Question

Если f(x+1)+f(x+3)=2x^2+12x+18 найдите f(x)

Answer 1

Ответ: f(x)=x^2+2x

Пошаговое объяснение:

Понятно ,что функцией f(x) является какой то многочлен.

Предположим, что этот многочлен имеет степень выше 2 (n>2) ,но тогда

f(x+1) и f(x+3) , будут содержать одночлены вида : a(x+1)^n и a(x+3)^n , но тогда

f(x+1)+f(x+3) будет иметь одночлен со старшей степенью : 2a1*x^n , но у многочлена справа наибольшая степень равна 2, то есть мы пришли к противоречию, f(x) имеет не более чем вторую степень.

Найдём наш многочлен методом неопределенных коэффициентов.

Пусть: f(x+1)=ax^2+bx+c

Тогда:

f(x+3)=a*(x+2)^2+b*(x+2)+c=

ax^2+(b+4a)*x+(4a+2b+c)

f(x+1)+f(x+3)=2ax^2+(2b+4a)*x+(4a+2b+2c)=2x^2+12x+18

ax^2+(b+2a)*x+(2a+b+c)=x^2+6x+9

Осталось решить систему:

a=1

b+2a=6 ( b=4)

2a+b+c=9 (c=3)

f(x+1)=x^2+4x+3

Тогда:

f(x)=(x-1)^2 +4*(x-1)+3=x^2+2x

Ответ: f(x)=x^2+2x

Answer 2

Для того, чтобы найти f(x), нам нужно выразить его через f(x+1) и f(x+3).

Давайте рассмотрим два уравнения:

f(x+1) + f(x+3) = 2x^2 + 12x + 18 ---(1)

f(x) + f(x+2) = 2(x+1)^2 + 12(x+1) + 18 = 2x^2 + 16x + 32 ---(2)

Мы можем заменить x на x-1 во втором уравнении, чтобы получить:

f(x-1) + f(x+1) = 2(x)^2 + 16(x-1) + 32 = 2x^2 + 12x + 18 ---(3)

Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (3), чтобы выразить f(x) через f(x+1) и f(x+3).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (1), получим:

f(x+3) - f(x-1) = 4x + 6

Заменяя x на x-2, мы получим:

f(x+1) - f(x-3) = 4(x-2) + 6 = 4x-2

Теперь мы можем сложить эти два уравнения и разделить на 2, чтобы выразить f(x):

[f(x+3) - f(x-1)] + [f(x+1) - f(x-3)] = 4x + 4x - 2

2f(x+1) = 8x + 2

f(x+1) = 4x + 1

Теперь мы можем заменить x на x-1, чтобы получить:

f(x) = 4(x-1) + 1

f(x) = 4x - 3

Таким образом, решением задачи является f(x) = 4x - 3.