Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанные начальные условия: y’’+y=1/sinx, y(π/2)=1, y'(π/2)=π/2

Answer 1

$\displaystyle y''+y=\frac{1}{sinx}\\k^2+1=0\\k=^+_-i\\Y=C_1cosx+C_2sinx=>C_1(x)cosx+C_2(x)sinx\\\begin{cases}C'_1(x)cosx+C'_2(x)sinx=0\\C'_1(x)(-sinx)+C'_2(x)cosx=\frac{1}{sinx}\end{cases}\\W=\left[\begin{array}{cc}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{array}\right]=1\\W_1=\left[\begin{array}{cc}0&sinx\\\frac{1}{sinx}&cosx\end{array}\right]=-1\\W_2=\left[\begin{array}{cc}cosx&0\\-sinx&\frac{1}{sinx}\end{array}\right]=ctgx\\C'_1(x)=\frac{W_1}{W}=-1=>C_1(x)=-x+C_1\\C'_2(x)=\frac{W_2}{W}=ln|sinx|+C_2$

$y=(-x+C_1)cosx+(ln|sinx|+C_2)sinx\\1=(-\frac{\pi}{2}+C_1)*0+(0+C_2)\\C_2=1\\\\\\y'=-(-x+C_1)sinx+(ln|sinx|+C_2)cosx\\\frac{\pi}{2}=-(-\frac{\pi}{2}+C_1)+1*0\\C_1=0\\\\y=-xcosx+(ln|sinx|+1)sinx$

Answer 2

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения и удовлетворить начальные условия, мы сначала найдем общее решение уравнения, а затем определим значения констант, учитывая начальные условия.

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Общее решение такого уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' + y = 0: Характеристическое уравнение: r^2 + 1 = 0. Решение характеристического уравнения: r = ±i.

Общее решение однородного уравнения: y_h(x) = c1cos(x) + c2sin(x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения y'' + y = 1/sin(x): Чтобы найти частное решение, воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = Acos(x) + Bsin(x), где A и B - неизвестные постоянные, которые нужно найти.

Вычислим производные: y_p'(x) = -Asin(x) + Bcos(x), y_p''(x) = -Acos(x) - Bsin(x).

Подставим найденные значения производных в исходное уравнение: (-Acos(x) - Bsin(x)) + (Acos(x) + Bsin(x)) = 1/sin(x).

Упростим выражение: 1 = 1/sin(x).

Поскольку 1/sin(x) не определено в точке x = π/2, нам необходимо воспользоваться правилом Лопиталя для нахождения предела, чтобы определить значения A и B.

Правило Лопиталя гласит, что предел отношения двух функций f(x) и g(x) при x -> c равен пределу отношения их производных: lim(x->c) f(x)/g(x) = lim(x->c) f'(x)/g'(x), если оба предела существуют или равны бесконечности.

Применим это правило к пределу 1/sin(x) при x -> π/2:

lim(x->π/2) (1/sin(x)) = lim(x->π/2) (d/dx(1))/(d/dx(sin(x))).

Вычислим про