Question

На эллипсе 5x^2 + 9y^2= 180 найдите точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше расстояния ее от левого фокуса.

Answer 1

2 способа решения , второй проще , но используется понятие фокального радиуса точки

Answer 2

Уравнение эллипса 5x^2 + 9y^2 = 180 можно переписать в виде:

x^2/(36/5) + y^2/20 = 1

где a^2 = 36/5, b^2 = 20, и c = sqrt(a^2 - b^2) = 3.

Так как в задаче упоминаются фокусы эллипса, то нам понадобится найти их координаты. Фокусы располагаются на главной оси эллипса, которая проходит через его центр. Центр эллипса находится в точке (0, 0), поэтому главная ось проходит через точки (sqrt(36/5), 0) и (-sqrt(36/5), 0).

Координаты фокусов можно найти по формуле: (±c, 0), где c = 3.

Теперь нам нужно найти точку P на эллипсе, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше расстояния ее от левого фокуса. Пусть расстояние от точки P до правого фокуса равно d, а расстояние от точки P до левого фокуса равно 2d.

Тогда мы можем записать уравнение эллипса в полярных координатах:

r^2 = (36/5)cos^2(theta) + 20sin^2(theta)

где r и theta - полярные координаты точки P.

Расстояние от точки P до фокуса справа можно выразить через r и угол alpha между осью x и лучом, идущим от точки P до фокуса:

d = r - c*cos(alpha)

Аналогично, расстояние от точки P до фокуса слева можно выразить как:

2d = r + c*cos(alpha)

Решая эти уравнения относительно r и cos(alpha), получаем:

r = 5c/3 = 5 cos(alpha) = 4/5

Теперь мы можем найти полярные координаты точки P:

r^2 = (36/5)cos^2(theta) + 20sin^2(theta)

5^2 = (36/5)(4/5)^2 + 20(3/5)^2*cos(theta)

cos(theta) = 16/29

Таким образом, мы нашли значения cos(alpha) и cos(theta), и можем найти синусы этих углов:

sin(alpha) = sqrt(1 - cos^2(alpha)) = 3/5 sin(theta) = sqrt(1 - cos^2(theta)) = 3sqrt(87)/29

Наконец, мы можем перевести полярные координаты в декартовы:

x = r*cos(theta) = -12sqrt