Question

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 5, 7, 8, 9 таких, что: • число делится нацело на 3

Answer 1

Разобьём числа на классы эквивалентности по остаткам от деления на 3
0: 0,9
1:4,7
-1:2,5,8
Тогда нас удовлетворяет выбор двуx чисел из 1-го класса, трёx из 3-го
это можно сделать единственным способом, а переставить иx можно с учётом невозможности нуля в начале 4*4*3*2*1= 96 способами
Ещё нас удовлетворяет выбор 1-го из первого, и 2-x из остальныx
2*3 = 6 -ю способами можно это сделать
и перестановок с учётом невозможности нуля в начале в половине случаев 3*4*3*2*1+3*5! = 144
Всего 144+96 = 240
Другиx вариантов выборок из трёx классов очевидно нет(признак делимости на 3)

Мог ошибиться, будьте внимательны

Answer 2

Чтобы число делилось нацело на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр также делилась на 3. Мы можем использовать только цифры 0, 2, 4, 5, 7, 8 и 9. Сумма этих цифр равна 6 + 18 + 4 = 28, что делится на 3. Таким образом, чтобы пятизначное число, составленное из этих цифр, делилось нацело на 3, сумма его цифр также должна делиться на 3.

Мы можем использовать следующие комбинации цифр, сумма которых равна 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 и 27:

• 3: 0+2+1+0+0, 0+0+0+3+0, 0+0+2+1+0, 2+0+1+0+0 (4 варианта)
• 6: 2+0+2+2+0, 0+2+4+0+0, 0+0+5+0+1, 5+0+0+0+1, 0+0+2+5+0, 0+5+0+2+0, 2+5+0+0+0, 7+0+0+0+0 (8 вариантов)
• 9: 2+0+2+5+0, 0+2+5+0+2, 5+2+0+0+0, 0+5+2+0+0, 7+2+0+0+0, 0+0+9+0+0, 9+0+0+0+0 (7 вариантов)
• 12: 2+5+2+0+0, 0+5+0+5+2, 0+2+7+0+0, 7+2+0+0+3, 0+9+0+0+3, 9+0+0+2+1, 0+0+0+8+4, 8+0+0+0+4 (8 вариантов)
• 15: 5+5+2+0+3, 5+2+5+0+3, 2+5+5+0+3, 5+0+5+2+3, 5+0+2+5+3, 5+0+3+2+5, 2+5+0+5+3, 2+5+3+0+5, 2+3+5+0+5, 3+5+5+0+2 (10 вариантов)
• 18: 5+5+5+0+3, 5+5+2+5+1, 2+5+5+5+1, 5+2+5+5+1, 5+5+5+2+1, 5+5+2+2+4, 2+5+5+2+4, 2+2+5+5+