Question

Найти наименьшее значение функции y=x^3+2x^2+x-7 на отрезке [-1,0]

Answer 1

Находим производную функции y = x³+2x² +x-7:
y' = 3x²+4x+1 и приравниваем её нулю:
3x²+4x+1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=4²-4*3*1=16-4*3=16-12=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-4)/(2*3)=(2-4)/(2*3)=-2/(2*3)=-2/6=-(1/3) ≈ -0.33333;x₂=(-√4-4)/(2*3)=(-2-4)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6 = -1.
Найденные точки делят область определения функции на 3 промежутка:
(-∞; -1), (-1; (-1/3)), ((-1/3); +∞).
Находим знаки производной на полученных промежутках:
x =  -2     -1      -0,5       -0,3333       0
y' =  5       0     -0,25           0            1.
Видим, что в точке х = -1/3 производная меняет знак с - на +.
Это признак минимума функции.
Значение функции в этой точке равно:
у(-1/3) = (-1/3)³ + 2*(-1/2)² + (-1/3)- 7 =  -7,1481.

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо вычислить значение функции на концах отрезка [-1,0] и в стационарной точке (где первая производная равна нулю), а затем выбрать наименьшее из полученных значений.

1. Вычислим значение функции на концах отрезка: y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 - 7 = -7 y(0) = 0^3 + 2(0)^2 + 0 - 7 = -7

2. Найдем стационарную точку, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение: y'(x) = 3x^2 + 4x + 1 = 0 Решим квадратное уравнение: x1,2 = (-4 ± √(4^2 - 431)) / (2*3) = (-4 ± √4) / 6 x1 = -1/3, x2 = -1

3. Вычислим значение функции в найденных точках: y(-1/3) = (-1/3)^3 + 2(-1/3)^2 - 1/3 - 7 ≈ -7.74 y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 - 7 = -7

4. Наименьшее значение функции на отрезке [-1,0] равно минимальному из полученных значений, то есть y(-1) = -7.

Ответ: наименьшее значение функции y=x^3+2x^2+x-7 на отрезке [-1,0] равно -7.