Question

указать тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общего решение cosx*sinydy=cosy*sinxdx

Answer 1

Это уравнение с разделяющимися переменными.
cos x · sin y dy = cos y · sin x dx
sin y/cos y dy = sin x/cos x dx
- d(cos y)/cos y = -d(cos x)/cos x
ln |cos y| = ln (C·|cos x|)
cos y = C·cos x

Answer 2

Данное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными и может быть записано в следующем виде:

cos(x) * sin(y) dy = cos(y) * sin(x) dx

Уравнение можно решить, разделив обе части на выражение cos(y) * sin(y):

(1 / sin(y)) dy = (1 / cos(x)) dx

Теперь можно проинтегрировать обе части уравнения:

∫(1 / sin(y)) dy = ∫(1 / cos(x)) dx

Для нахождения общего решения необходимо вычислить эти интегралы. Давайте начнем с левой части:

∫(1 / sin(y)) dy

Заметим, что это интеграл от функции cot(y). Для интегрирования данного выражения мы можем использовать замену переменной. Положим u = sin(y), тогда du = cos(y) dy. Таким образом, мы можем переписать интеграл в следующем виде:

∫(1 / u) du

А это уже интеграл от функции 1/u, который равен ln|u| + C1 (где C1 - произвольная постоянная интегрирования).

Теперь рассмотрим правую часть:

∫(1 / cos(x)) dx

Здесь мы имеем интеграл от функции sec(x). Интеграл этой функции равен ln|sec(x) + tan(x)| + C2 (где C2 - произвольная постоянная интегрирования).

Итак, общее решение уравнения будет иметь вид:

ln|sin(y)| + C1 = ln|sec(x) + tan(x)| + C2

Можно также записать решение в виде:

|sin(y)| = C * |sec(x) + tan(x)|

где C = e^(C2 - C1) - положительная постоянная.