Question

Как доказать что n-ть является арифметической или геометрической прогрессией?

Answer 1

  Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если существует действительное число q, называемое знаменателем прогрессии, такое, что $b_{n+1} = b_n*q$ то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).    

 Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (разность прогрессии), такое, что,$a_{n+1}-a_n=d$  то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).

Т.е. Например дана последовательность:
2, 4, 6, 8, ..2k .... 
Видно. что к каждому члену последовательности прибавляют по два 4-2=2, 6-5=2, 8-6=2...... значит это арифметическая прогрессия

А вот если
2, 4, 8, 16, ...  $2 x^{n}$ 
то это геометрическая прогрессия. ведь каждый член последовательности умножают на два, чтобы получить предыдущий. 4:2=2, 8:4=2, 16:8=2

Answer 2

Чтобы доказать, что последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, необходимо проанализировать ее элементы и проверить, выполняются ли для них соответствующие условия.

Арифметическая прогрессия: Последовательность называется арифметической прогрессией, если разность между любыми двумя последовательными элементами является постоянной. Для проверки этого условия можно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите разность между первыми двумя элементами последовательности: d = a[2] - a[1], где a[1] и a[2] - первые два элемента последовательности.
2. Проверьте, выполняется ли разность d для всех последовательных пар элементов. Для этого вычислите разность между каждыми двумя последовательными элементами и убедитесь, что она равна d. Например, для третьего и четвертого элементов: a[3] - a[2] = a[4] - a[3] = d.

Если для всех пар элементов разность одинакова, то последовательность является арифметической прогрессией с разностью d. Если разность не постоянна, то последовательность не является арифметической прогрессией.

Геометрическая прогрессия: Последовательность называется геометрической прогрессией, если отношение любых двух последовательных элементов является постоянным. Для проверки этого условия можно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите отношение между первыми двумя элементами последовательности: r = a[2] / a[1], где a[1] и a[2] - первые два элемента последовательности.
2. Проверьте, выполняется ли отношение r для всех последовательных пар элементов. Для этого вычислите отношение между каждыми двумя последовательными элементами и убедитесь, что оно равно r. Например, для третьего и четвертого элементов: a[3] / a[2] = a[4] / a[3] = r.

Если для всех пар элементов отношение одинаково, то последовательность является геометрической прогрессией с отношением r. Если отношение не постоянно, то последовательность не является геометрической прогрессией.

Важ