Question

Найдите решение уравнения cos⁡2x-sin⁡x=cos^2 x Укажите корни, принадлежащие отрезку [0;2π]

Answer 1

Вот кажется правильный ответ.

Answer 2

Дано уравнение:

cos⁡2x-sin⁡x=cos^2 x

Перепишем его, используя тригонометрические тождества:

cos^2 x - sin x - cos^2 x = -cos 2x

Тогда получим:

-cos 2x = -sin x

cos 2x = sin x

Теперь применим тригонометрические тождества для cos 2x и sin x:

cos 2x = 2cos^2 x - 1 sin x = 2sin x cos x

Тогда уравнение примет вид:

2cos^2 x - 1 = 2sin x cos x

cos^2 x - sin x cos x - 1/2 = 0

Решим полученное квадратное уравнение относительно cos x:

cos x = [sin x ± √(sin^2 x + 2)] / 2

Поскольку cos x не может быть больше единицы или меньше минус единицы, то мы можем рассматривать только корни с положительным знаком перед корнем, исключая те, которые меньше -1.

Теперь мы можем перейти к поиску корней на отрезке [0, 2π]:

sin x + √(sin^2 x + 2) = 2 cos x

(sin x + √(sin^2 x + 2))^2 = 4 cos^2 x = 2 + 2 cos 2x

sin^2 x + sin x √(sin^2 x + 2) + sin^2 x + 2 = 2 + 2 cos 2x

2 sin^2 x + sin x √(sin^2 x + 2) - 2 cos 2x = 0

sin x = (2 cos 2x) / (√(2 + 2 cos 2x) + 1)

Теперь мы можем использовать таблицы тригонометрических функций, чтобы найти решения уравнения на отрезке [0, 2π]. Одним из таких корней будет:

x = arccos((√7 - 1) / 2)

Для того чтобы найти остальные корни, мы можем использовать периодичность функций sin x и cos x, добавляя к первому найденному корню кратное 2π.