Question

Помогите даю 50 баллов вычеслить площадь фигуры ограниченно линиями y=4x; y =x^2 ( решение и график)

Answer 1

Y=4x   y =x²
Приравняем

x²=4x
x²-4x=0
x*(x-4)=0
нули функции:
x=0  x-4=0
        x=4

Найдём площадь фигуры границы которого от 0 до 4
$\int\limits^4_0 { x^{2} -4x} \, dx = \frac{ x^{3} }{3} -4* \frac{ x^{2} }{2} | \left {4} \atop {0}} \right. = \frac{ x^{3} }{3} -2 x^{2} | \left {4} \atop {0}} \right. =$= $\frac{ 4^{3} }{3} -2* 4^{2} - \frac{ 0^{3} }{3} +2*0^{2} = \frac{64}{3} -2*16-0+0=21 \frac{1}{3} - 31\frac{3}{3} =$ $|-10 \frac{2}{3} | = 10 \frac{2}{3}$(Модуль т.к. площадь не может быть отрицательна!)

Answer 2

Для решения задачи о нахождении площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, y = 4x и y = x^2, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл между этими точками.

1. Найдем точки пересечения: Приравняем уравнения: 4x = x^2 x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

   Из этого следует, что x = 0 или x = 4. Подставляя эти значения в одно из уравнений, получим соответствующие значения y: При x = 0: y = 0^2 = 0 При x = 4: y = 4^2 = 16

   Таким образом, точки пересечения кривых - (0, 0) и (4, 16).

2. Построим график этих кривых, чтобы визуализировать фигуру:

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 400) y1 = 4*x y2 = x**2

plt.plot(x, y1, label='y = 4x') plt.plot(x, y2, label='y = x^2') plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('График кривых y = 4x и y = x^2') plt.legend() plt.grid(True) plt.show()

На графике будет видна область, ограниченная кривыми y = 4x и y = x^2.

3. Вычислим площадь этой фигуры, используя определенный интеграл:

Для определенного интеграла площади между двумя кривыми можно использовать следующую формулу: Площадь = ∫(верхняя кривая - нижняя кривая) dx, где x изменяется от x1 до x2.

В данном случае, верхняя кривая - y = 4x, а нижняя кривая - y = x^2.

Вычислим площадь: Площадь = ∫(4x - x^2) dx, где x изменяется от 0 до 4.

∫(4x - x^2) dx = 2x^2 - (1/3)x^3 |[0, 4] = (2 * 4^2 - (1/3) * 4^3) - (2 * 0^2 - (1/3) * 0^3) = (2 * 16 - (1/3) * 64) - (0 - 0) = 32 - (64/