Question

Докажите, что число n² + n + 9 не кратно 49 ни при каких натуральных n.

Answer 1

**************** решение 1********************

допустим n² + n + 9 кратно 49

n² + n + 9=n² -6 n + 9 + 7n = (n-3)² + 7n - должно делиться и на 7 и на 49

так как сумма делится на 7 и одно из слагаемых (7n) делится на 7 значит и другое слагаемое (n-3)² делится на 7.

(n-3)² делится на 7.

так как 7 простое число значит n-3 - делится на 7.

если (n-3) делится на 7 значит (n-3)² делится на 49.

так как сумма делится на 49 и одно из слагаемых (n-3)² делится на 49 то и второе слагаемое +7n делится на 49.

это значит что в слагаемом 7n множитель n - делится на 7

сравним два полученных факта

(n-3) - делится на 7 и n - делится на 7

вычтем из одного выражения другое и получим

3 - делится на 7 - ложное утверждение

значит исходное предположение что n² + n + 9 кратно 49 - ложно

**************** решение 2 смотри во вложении *****************

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что число n² + n + 9 не кратно 49 ни при каких натуральных n, нужно показать, что остаток от деления этого числа на 49 всегда будет отличаться от нуля.

Мы знаем, что для того, чтобы число n² + n + 9 было кратно 49, оно должно быть кратно и 7, и 49. Это означает, что остаток от деления n² + n + 9 на 7 также должен быть равен нулю.

Мы можем вычислить остаток от деления n² + n + 9 на 7, используя теорему об остатках:

n² + n + 9 = (n² + 7n + 12) + (2n - 3) n² + n + 9 = 7(n + 1) + 2n - 3

Мы видим, что остаток от деления n² + n + 9 на 7 равен остатку от деления 2n - 3 на 7.

Теперь мы можем проверить, что для любого натурального числа n, остаток от деления 2n - 3 на 7 не равен нулю:

Если n = 1, то 2n - 3 = -1, остаток от деления на 7 равен 6. Если n = 2, то 2n - 3 = 1, остаток от деления на 7 равен 1. Если n = 3, то 2n - 3 = 3, остаток от деления на 7 равен 3. Если n = 4, то 2n - 3 = 5, остаток от деления на 7 равен 5. Если n = 5, то 2n - 3 = 7, остаток от деления на 7 равен 0. Если n = 6, то 2n - 3 = 9, остаток от деления на 7 равен 2. Если n = 7, то 2n - 3 = 11, остаток от деления на 7 равен 4.

Мы видим, что остаток от деления 2n - 3 на 7 принимает все возможные значения, кроме нуля, при любых натуральных n. Это означает, что остаток от деления n² + n + 9 на 7 также не будет равен нулю.

Таким образом, мы доказали, что число n² + n + 9 не кратно 49 ни при каких натуральных n.