Question

Петя вписал в прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 два квадрата. У первого квадрата одна из вершин совпадает с вершиной прямого угла, а у второго одна из сторон лежит на гипотенузе. Петя нашёл стороны каждого из квадратов, представил их отношение несократимой дробью и у этой дроби нашёл сумму числителя и знаменателя. Какое число получилось у Пети? (Напомним, что четырехугольник называется вписанным в треугольник, если все его вершины находятся на сторонах или в вершинах треугольника.)

Answer 1

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и сторонами АВ = 3 и АС = 4.

1 вариант - у  первого квадрата одна из вершин совпадает с вершиной прямого угла.
Примем сторону квадрата за х.
Тангенс угла С = 3/4.
Сторона АС: 4 = х + х/(3/4) = (7/3)х, отсюда х =4/(7/3) = 12/7.

2 вариант -  у второго одна из сторон лежит на гипотенузе.
Косинус угла С равен= 4/5, а синус равен 3/5.
Сторона АС: 4 = (4/5)х + х/(3/5) = (37/15)х.
Отсюда х = 4/(37/15) = 60/37.

Отношение сторон квадратов равно (12/7)/(60/37) = 37/35.
Сумма числителя и знаменателя дроби равна 37+35 = 72.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать геометрические свойства вписанных фигур.

Первый квадрат имеет одну из вершин, совпадающую с вершиной прямого угла треугольника. Это означает, что сторона квадрата совпадает с катетом треугольника. Таким образом, сторона первого квадрата равна 3.

Второй квадрат имеет одну сторону, лежащую на гипотенузе треугольника. Давайте обозначим эту сторону как "х". Поскольку квадрат вписан в треугольник, длина гипотенузы треугольника равна сумме сторон квадрата и оставшейся части гипотенузы. Таким образом, мы можем записать уравнение:

х + оставшаяся часть гипотенузы = 5.

Оставшаяся часть гипотенузы равна длине гипотенузы минус сторона квадрата, то есть (5 - 3) = 2. Подставляя это значение в уравнение, получаем:

х + 2 = 5, х = 5 - 2, х = 3.

Таким образом, сторона второго квадрата равна 3.

Отношение сторон квадратов равно:

3/3 = 1.

Сумма числителя и знаменателя этой несократимой дроби равна:

1 + 1 = 2.

Таким образом, Петя получил число 2.