Question

В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 2,а сумма третьего и пятого членов равна 180.Найдите второй член

Answer 1

формула n-го члена геометрической прогрессии:

$a_n=a_1*q^{n-1}$

по условию:

$a_1=2$

тогда:

$a_3=2q^2 \\ a_5=2q^4$

По условию:

$a_3+a_5=180$

то есть

$2q^2+2q^4=180 \\ 2q^4+2q^2-180=0 \ |:2 \\ \\ q^4+q^2-90=0$

Решаем данное биквадратное уравнение заменой:

$q^2=t, \ t\geq 0 \\ \\ t^2+t-90=0 \\ \\ D=1+4*90=361=19^2$

$t_1=\frac{-1-19}{2}= -10$ - не удовлетворяет условию t≥0

$t_2=\frac{-1+19}{2}=9$

обратная замена:

$q^2=9 \\ \\ q=^+_-3$

так как прогрессия знакочередующейся, значит q=-3

второй член:

$a_2=a_1*q=2*(-3)=-6\\ \\ OTBET: \ -6$

Answer 2

Пусть второй член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда первый член равен 2. Второй член равен a. Третий член равен a * q. Четвертый член равен a * q^2. Пятый член равен a * q^3.

Сумма третьего и пятого членов равна 180:

a * q^2 + a * q^3 = 180.

Также известно, что первый член равен 2:

a = 2.

Подставим значение a в уравнение:

2 * q^2 + 2 * q^3 = 180.

Разделим оба члена уравнения на 2:

q^2 + q^3 = 90.

Таким образом, у нас есть уравнение вида q^2 + q^3 = 90, которое нужно решить для q.

Решение этого уравнения явным образом сложно найти, поэтому воспользуемся численным методом для его решения. Воспользуемся, например, методом итераций или методом половинного деления.

После того, как мы найдем значение q, мы можем найти второй член прогрессии:

a = 2.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!