Question

Найти площадь фигуры ограниченной функциями y=x^2 и y=2x+8

Answer 1

x^2=2x+8

x^2-2x-8=0

D=4+32=36

x1=(2+6)/2 = 8/2=4

x2=(2-6)/2=-4/2=-2

(-2;4) ∫(x^2-2x-8) dx = x^3/3-2x^2/2-8x | (-2;4) = x^3/3-x^2 -8x | (-2;4) =

=4^3/3-4^2-8*4 - ( (-2)^3/3 -(-2)^2 -8*(-2) ) =

=64/3-16-32+8/3+4-16= 72/3-60=24-60=-36=36 (( т.к. площадь не может быть отрицательной )

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной функциями y = x^2 и y = 2x + 8, нужно сначала найти точки пересечения этих функций, а затем вычислить определенный интеграл площади между ними.

Для начала найдем точки пересечения. Приравняем уравнения функций друг к другу:

x^2 = 2x + 8

Перепишем уравнение в стандартной форме:

x^2 - 2x - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно либо использовать метод факторизации, либо применить квадратное уравнение:

(x - 4)(x + 2) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 4 и x = -2.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, возьмем интеграл от разности функций в пределах от x = -2 до x = 4:

Площадь = ∫[от -2 до 4] (2x + 8 - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[от -2 до 4] (2x + 8 - x^2) dx = [x^2 + 8x - (x^3/3)] [от -2 до 4] = [(4^2 + 84 - (4^3/3)) - ((-2)^2 + 8(-2) - ((-2)^3/3))]

Вычислим значения:

Площадь = [(16 + 32 - (64/3)) - (4 + (-16) - ((-8)/3))] = [(48 - (64/3)) - (4 - (8/3))] = [(144/3 - 64/3) - (12/3 - 8/3)] = [(80/3) - (4/3)] = 76/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной функциями y = x^2 и y = 2x + 8, равна 76/3 или приблизительно 25.33 единицы площади.