Question

Привести уравнение кривой второго порядка f(х;у)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0.Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. х(в квадрате)+2у(в квадрате)+8у+4=0  ; 5у+4=0 Помогите люди!!!!

Answer 1

$x^2+2(y^2+4y+4)-4=0\\ x^2+2(y+2)^2=4\\\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{2}=1\\\\ \dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{(y+2)^2}{(\sqrt2)^2}=1$
Получили уравнение эллипса в каноническом виде.
Найдем точки пересечения его и прямой:
$\left\{\begin{matrix} x^2+2(y+2)^2=4 \\ 5y+4=0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=-4/5 \\ x^2+2(-4/5+2)^2=4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y=-4/5 \\ x^2=\frac{28}{25} \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix} x_1=-\frac{2\sqrt7}{5} \\ y_1=-\frac{4}{5} \end{matrix}\right. \ \left\{\begin{matrix} x_2=\frac{2\sqrt7}{5} \\ y_2=-\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$
Получили две точки пересечения:
$A(-\frac{2\sqrt7}{5};\ -\frac{4}{5})\ u \ B(\frac{2\sqrt7}{5};\ -\frac{4}{5}).$
Иллюстрация во вложении.

Answer 2

Дано уравнение кривой второго порядка: f(x, y) = x² + 2y² + 8y + 4 = 0.

Чтобы привести уравнение каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Завершить квадрат для переменной y. Для этого добавим и вычтем константу, которая половину коэффициента при y возводит в квадрат: f(x, y) = x² + 2y² + 8y + 4 = x² + 2(y² + 4y) + 4 - 2(4) = x² + 2(y² + 4y + 4) - 8.

2. Запишем уравнение в виде суммы квадратов: f(x, y) = x² + 2(y² + 4y + 4) - 8 = x² + 2(y + 2)² - 8 - 2(2)² = x² + 2(y + 2)² - 12.

Теперь уравнение имеет канонический вид: f(x, y) = x² + 2(y + 2)² - 12 = 0.

Теперь найдем точки пересечения с прямой Ax + By + C = 0, где A = 0, B = 5 и C = 4.

Подставим уравнение прямой в уравнение кривой и решим полученное уравнение относительно x и y: x² + 2(y + 2)² - 12 = 0 ---(1) 5y + 4 = 0 ---(2)

Используя уравнение (2), найдем y: 5y = -4 y = -4/5

Подставим y = -4/5 в уравнение (1) и решим относительно x: x² + 2((-4/5) + 2)² - 12 = 0 x² + 2(6/5)² - 12 = 0 x² + 72/25 - 12 = 0 x² + 72/25 - 12 * (25/25) = 0 x² + 72/25 - 300/25 = 0 x² - 228/25 = 0 x² = 228/25 x = ±√(228/25) x = ±(6√19)/5

Таким образом, точки пересечения кривой с прямой Ax + By + C = 0: P1 = (-(6√19)/5, -4/5) P2 = ((6√19)/5, -4/5)

Для выполнения графической иллюстрации можно построить график кривой второго порядка и прямой на координатной плоскости. Подставив значения точек пересечения, можно отметить эти точки на г