Question

Прошу, помогите найти производную ф-ции: f(x) = ln (x^2+4)/(x^2-1); f'(2)

Answer 1

Всё решаем по формулам.

Answer 2

Чтобы найти производную функции f(x) = ln((x^2+4)/(x^2-1)), воспользуемся правилом дифференцирования для сложной функции.

Для начала, найдем производную внутренней функции g(x) = (x^2+4)/(x^2-1):

g(x) = (x^2+4)/(x^2-1)

Для удобства, обозначим числитель как u(x) = x^2 + 4 и знаменатель как v(x) = x^2 - 1. Тогда можно записать:

g(x) = u(x) / v(x)

Используем правило дифференцирования частного функций:

g'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx (x^2 + 4) = 2x

v'(x) = d/dx (x^2 - 1) = 2x

Подставляем эти значения в формулу для g'(x):

g'(x) = (2x * (x^2 - 1) - 2x * (x^2 + 4)) / (x^2 - 1)^2

Упрощаем выражение:

g'(x) = (2x^3 - 2x - 2x^3 - 8x) / (x^2 - 1)^2 = (-10x) / (x^2 - 1)^2

Теперь мы получили выражение для производной функции g(x). Чтобы найти производную функции f(x), достаточно умножить производную g'(x) на производную логарифма ln(u):

f'(x) = g'(x) * (1/u(x)) = (-10x) / (x^2 - 1)^2 * (1/(x^2 + 4))

Теперь можем найти значение производной f'(2) подставив x = 2 в f'(x):

f'(2) = (-10 * 2) / (2^2 - 1)^2 * (1/(2^2 + 4)) = -20 / (4 - 1)^2 * (1/8) = -20 / 9 * (1/8) = -20 / 72 = -5 / 18

Таким образом, f'(2) = -5/18.