Question

Натуральное число n таково , что у числа 2n больше делителей , чем у числа 3n, а у числа 6n больше делителей , чем у числа 10n на какое из чисел А - Д обязательно делитсн n ? (A) 4 (Б) 6 (B) 9 ( Г ) 10 (Д) 25

Answer 1

Пусть r = 2^a * 3^b * 5^c * m, где m не делится на 2, 3 или 5. Обозначим за #(x) число делителей числа x. Допустим, мы знаем все делители числа 3^b * 5^c * m, это u1, u2, u3, ..., uk; k = #(3^b * 5^c * m). Выпишем все делители n: это u1, u2, u3, ..., uk, 2 * u1, ..., 2 * uk, 2^2 * u1, ..., 2^2, ..., 2^a * u1, ..., 2^a * uk – всего (a + 1) * k штук. Аналогично можно поступить с остальными степенями, окончательно получим такую формулу: #(2^a * 3^b * 5^c * m) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) #(m)

Допустим, n = 2^a * 3^b * 5^c * m, где a, b, c – целые неотрицательные числа.

Если #(2n) > #(3n), то (a + 2)(b + 1)(c + 1) #(m) > (a + 1)(b + 2)(c + 1) #(m), откуда (a + 2)(b + 1) > (a + 1)(b + 2); b > a.

Если #(6n) > #(10n), то (a + 2)(b + 2)(c + 1) #(m) > (a + 2)(b + 1)(c + 2) #(m); (b + 2)(c + 1) > (b + 1)(c + 2); c > b.

Итак, c > b > a ≥ 0, откуда b ≥ 1, c ≥ 2, и n обязательно делится на 2^0 * 3^1 * 5^2 = 75, а значит, и на 25.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы должны разобраться в количестве делителей у чисел 2n, 3n, 6n и 10n. Давайте анализировать каждое из этих чисел по отдельности:

Для числа 2n: Количество делителей числа 2n будет равно количеству делителей самого числа n, так как 2 является простым числом. Поэтому количество делителей у числа 2n не будет отличаться от количества делителей числа n.

Для числа 3n: Количество делителей числа 3n будет равно количеству делителей самого числа n, так как 3 является простым числом. Так же как и в предыдущем случае, количество делителей у числа 3n не будет отличаться от количества делителей числа n.

Для числа 6n: Здесь мы имеем дело с числом 6, которое имеет более одного простого множителя (2 и 3). Поэтому число 6n будет иметь больше делителей, чем число n. Точное количество делителей будет зависеть от разложения числа n на простые множители и его степени.

Для числа 10n: Число 10 также имеет более одного простого множителя (2 и 5). Если число n делится на 2 и не делится на 5, то количество делителей числа 10n будет больше, чем у числа n. Опять же, точное количество делителей будет зависеть от разложения числа n на простые множители и его степени.

Исходя из этого, можно заключить, что число n обязательно делится на 6 (вариант Б), так как только в этом случае число 6n будет иметь больше делителей, чем числа 2n и 3n.