Question

Среди 30 курсантов взвода 6 отличников. Для внеочередного дежурства назначено 5 курсантов. Найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет Не более двух

Answer 1

Пусть случайная величина X - количество отличников.

Нужно найти вероятность того, что среди дежурных отличников будет не более двух, т.е. $P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Вероятность того, что среди дежурных не будет отличников равна

$P(X=0)=\dfrac{C^5_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{\dfrac{24!}{5!(24-5)!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{\dfrac{24!}{19!}}{\dfrac{30!}{25!}}=\dfrac{20\cdot21\cdot22\cdot23\cdot24}{26\cdot27\cdot28\cdot29\cdot30}=\dfrac{1012}{3393}$

Вероятность того, что среди дежурных отличников будет 1, равна

$P(X=1)=\dfrac{C^1_6\cdot C^4_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{6\cdot \dfrac{24!}{4!(24-4)!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{6\cdot5\cdot21\cdot22\cdot23\cdot24}{26\cdot27\cdot28\cdot29\cdot30}=\dfrac{506}{1131}$

Вероятность того, что среди дежурных отличников будет 2, равна

$P(X=2)=\dfrac{C^2_6C^3_{24}}{C^5_{30}}=\dfrac{\dfrac{6!}{2!(6-2)!}\cdot\dfrac{24!}{(24-3)!3!}}{\dfrac{30!}{5!(30-5)!}}=\dfrac{5060}{23751}$

искомая вероятность:

$P(X\leq 2)=\dfrac{1012}{3393}+\dfrac{506}{1131}+\dfrac{5060}{23751}=\dfrac{2530}{2639}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как мы выбираем определенное количество курсантов из заданной группы.

В данном случае у нас есть 30 курсантов, из которых 6 являются отличниками. Мы должны выбрать 5 курсантов для дежурства.

Давайте посчитаем вероятность того, что среди дежурных отличников будет не более двух. Для этого нам нужно найти вероятность того, что будет 0, 1 или 2 отличника среди выбранных для дежурства.

Вероятность выбрать k отличников из 6 отличников и (5 - k) не отличников из оставшихся 30 - 6 = 24 курсантов составляет:

P(k отличников) = C(6, k) * C(24, 5 - k) / C(30, 5),

где C(n, r) обозначает сочетание из n элементов по r элементов.

Теперь мы можем вычислить вероятность для каждого значения k и сложить их:

P(не более 2 отличников) = P(0 отличников) + P(1 отличник) + P(2 отличника).

P(0 отличников) = C(6, 0) * C(24, 5) / C(30, 5), P(1 отличник) = C(6, 1) * C(24, 4) / C(30, 5), P(2 отличника) = C(6, 2) * C(24, 3) / C(30, 5).

Теперь давайте подставим значения и вычислим вероятность:

P(0 отличников) = (1 * 42504) / 142506 = 0.2979, P(1 отличник) = (6 * 10626) / 142506 = 0.4485, P(2 отличника) = (15 * 2024) / 142506 = 0.1576.

Теперь сложим эти вероятности:

P(не более 2 отличников) = 0.2979 + 0.4485 + 0.1576 = 0.904.

Таким образом, вероятность того, что среди дежурных будет не более двух отличников, составляет около 0.904 или 90.4%.