Question

Доказать что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.

Answer 1

Можно доказать от противного.

Допустим ,что нельзя построить треугольник через 3 диагоналей пятиугольника. Значит для всех диагоналей будет верно : a+b<c,a+c<b,........,d+e<a и a−b>c,.........d−e>b, где a,b,c,d,e-длины диагоналей пятиугольника.Тогда суммируя эти неравенства можно получить , что 2∗a<0,.....,2∗e<0. Противоречие, так как длины диагоналей не могут быть отрицательными числами.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный выпуклый пятиугольник.

Пусть у нас есть пятиугольник ABCDE, и пусть AC, AD, AE, BD, и BE - его диагонали. Нам нужно доказать, что из этих пяти диагоналей всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.

Для доказательства рассмотрим два случая:

1. Среди диагоналей есть хотя бы две, которые пересекаются внутри пятиугольника.

Пусть, например, диагонали AC и BE пересекаются в точке P внутри пятиугольника. Тогда треугольники ABP и CEP можно построить, используя диагонали AC, AD и BE. Эти треугольники могут быть построены, поскольку они образованы сторонами пятиугольника и одной из диагоналей, пересекающихся внутри пятиугольника.

2. Все диагонали не пересекаются внутри пятиугольника.

В этом случае существуют две диагонали, которые не пересекаются. Пусть это будут диагонали AC и BD. Тогда треугольники ABC и ABD можно построить, используя диагонали AC, AD и BD. Опять же, эти треугольники могут быть построены, так как они образованы сторонами пятиугольника и одной из диагоналей, которые не пересекаются.

В обоих случаях мы можем выбрать три диагонали, которые образуют треугольник, поэтому мы доказали, что из пяти диагоналей произвольного выпуклого пятиугольника всегда можно выбрать три таких, что из них можно составить треугольник.