Question

Неопр. интеграл x^2e^2x^3dx подробнее, пожалуйста

Answer 1

$\int\limits {x^2e^2x^3} \, dx = \int\limits {x^{2+3}e^2} \, dx= \int\limits {x^5e^2} \, dx$
Интеграл от произведения функции на константу и есть эта константа умноженная на интеграл от данной функции
$\int\limits {x^5e^2} \, dx= e^2 \int\limits {x^5} \, dx=e^2 \cdot \frac{x^6}{6}= \frac{x^6e^2}{6}$

Answer 2

Итак, мы имеем неопределенный интеграл

∫(x^2 * e^(2x^3)) dx.

Давайте разберемся, как его решить. Один из способов - это использование метода замены переменной.

1. Проведем замену переменной: пусть u = x^3. Тогда, дифференцируя обе части по x, получим du = 3x^2 dx. Таким образом, dx = du / (3x^2).

2. Теперь заменим переменную и перепишем исходный интеграл:

∫(x^2 * e^(2x^3)) dx = ∫((x^2 * e^(2u)) / (3x^2)) du = (1/3) ∫(e^(2u)) du.

3. Теперь мы имеем интеграл ∫(e^(2u)) du, который является простым и может быть решен непосредственно:

∫(e^(2u)) du = (1/2) * e^(2u) + C,

где C - постоянная интегрирования.

4. Вернемся к исходной переменной x. Подставим обратную замену переменной x^3 = u:

(1/2) * e^(2u) + C = (1/2) * e^(2(x^3)) + C.

Итак, окончательный ответ:

∫(x^2 * e^(2x^3)) dx = (1/2) * e^(2(x^3)) + C,

где C - постоянная интегрирования.