Question

В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров, какова вероятность того что красных шаров вынуто не более трех

Answer 1

Красные шары вынуто не более трех, т.е. это значит, что вынуто 0 шаров или 1 красный шар или 2 шара или 3 шара. Посчитаем сколькими способами можно вынуть красных шаров не более трех.

$C^8_{12}+8\cdot C^7_{12}+C^2_8\cdot C^6_{12}+C^3_8\cdot C^5_{12}=\\ \\ \\ = \dfrac{12!}{8!4!} +8\cdot \dfrac{12!}{5!7!} + \dfrac{8!}{2!6!}\cdot \dfrac{12!}{6!6!}+ \dfrac{8!}{5!3!} \cdot \dfrac{12!}{7!5!}=77055$

Всего благоприятствующих событий: 77055
Всего все возможных событий:  $C^8_{20}= \dfrac{20!}{12!8!}=125970$

Искомая вероятность:  $P= \dfrac{77055}{125970}\approx0.61$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как нам нужно найти вероятность успеха (вытащить красный шар) в серии независимых испытаний (вытаскивание шаров).

Вероятность успеха (вытащить красный шар) обозначим как p, а количество испытаний (вытаскивание шаров) обозначим как n.

В данной задаче n = 8, так как мы вытаскиваем 8 шаров.

Мы хотим найти вероятность того, что красных шаров вынуто не более трех, то есть P(X ≤ 3), где X - количество красных шаров.

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Формула для вычисления вероятности по биномиальному распределению:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

где C(n, k) - число сочетаний из n по k (количество возможных комбинаций из n элементов по k элементов).

В нашем случае p = количество красных шаров / общее количество шаров = 8 / (12 + 8) = 8 / 20 = 0.4.

Подставляя значения в формулу, получаем:

P(X = 0) = C(8, 0) * (0.4)^0 * (1 - 0.4)^(8 - 0) P(X = 1) = C(8, 1) * (0.4)^1 * (1 - 0.4)^(8 - 1) P(X = 2) = C(8, 2) * (0.4)^2 * (1 - 0.4)^(8 - 2) P(X = 3) = C(8, 3) * (0.4)^3 * (1 - 0.4)^(8 - 3)

Вычислим значения:

P(X = 0) = 1 * 1 * 0.6^8 P(X = 1) = 8 * 0.4 * 0.6^7 P(X = 2) = 28 * 0.4^2 * 0.6^6 P(X = 3) = 56 * 0.4^3 * 0.6^5

Теперь сложим все вероятности:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Подставим вычисленные значения и просуммируем:

P(X ≤ 3) = (1 * 1 * 0.6^8) + (8 * 0.4 * 0.6^7) + (28 * 0.4^2 * 0.6^6) + (56 *