Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=x^2-4x+4; x=0 x=4 y=0

Answer 1

Ответ: Площадь 5 1/3.

ДАНО:  

y1(x) = x²-4*x+4,  y2(x) = 0

a = x = 4 - верхний предел

b = y =0 - нижний предел.

Найти: S=? - площадь.

Решение.

Площадь - интеграл разности функций:

s(x) = (4 - 4*x - x²) - 0  - подынтегральная функция.

Интегрируем.

$S(x)=\int\limits^4_0 {(4-4x+x^2)} \, dx=\frac{4x}{1}-\frac{4x^2}{2}+\frac{x^3}{3\\}$

(Мне нравится именно такая запись интеграла - понятен принцип получения формулы. Степень при Х увеличивается на 1, а число делится на значение этой степени.)

Вычисляем на границах интегрирования.

S(0) = 0.

S(4) = 16 - 32 + 21 1/3 = 5 1/3 - площадь - ответ.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно найти интеграл от кривой y=x^2-4x+4 до оси x в пределах от x=0 до x=4. Поскольку функция y=x^2-4x+4 является параболой, которая открывается вверх, её вершина находится в точке с координатами (2, 0). Таким образом, нам нужно интегрировать функцию от x=0 до x=4.

Площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

S = ∫[0,4] (x^2 - 4x + 4) dx

Первым шагом вычислим этот интеграл:

S = ∫[0,4] (x^2 - 4x + 4) dx = ∫[0,4] (x^2) dx - ∫[0,4] (4x) dx + ∫[0,4] (4) dx

Далее проинтегрируем каждый из трёх слагаемых:

∫(x^2) dx = (1/3)x^3 + C1

∫(4x) dx = 2x^2 + C2

∫(4) dx = 4x + C3

Подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:

S = [(1/3)(4)^3 + C1] - [2(4)^2 + C2] + [4(4) + C3] - [(1/3)(0)^3 + C1] - [2(0)^2 + C2] + [4(0) + C3]

Упростим это выражение:

S = [(1/3)(64) + C1] - [2(16) + C2] + [16 + C3] - [(1/3)(0) + C1] - [2(0) + C2] + [0 + C3] = (64/3 + C1) - (32 + C2) + (16 + C3) - (0 + C1) - (0 + C2) + (0 + C3) = 64/3 - 32 + 16 + C1 - C2 + C3 - C1 - C2 + C3 = 64/3 - 32 + 16 - C2 + C3 - C2 + C3 = 64/3 - 32 + 16 - 2C2 + 2C3

Окончательно, площадь фигуры ограниченной заданными линиями y=x^2-4x+4, x=0, x=4, y=0, равна:

S = 64/3 - 32 + 16 - 2C2 + 2C3

где C2 и C3 - константы интегрирования для каждого слагаемого.