Question

Найдите первообразную функции f (x)=x куб+6x кв-4 график которой проходит через точку М (-2;2)

Answer 1

Находим интеграл, подставляем координаты точки М и определяем постоянную интегрирования.

$f (x)=x^3 +6x^2-4 \\ \\ \int\limits {(x^3 +6x^2-4)} \, dx = \frac{1}{4} x^4 +2x^3-4x+C \\ \\ f(-2) = \frac{1}{4} (-2)^4 +2*(-2)^3-4*(-2)+C=2 \\ \\ 4 -16 +8 +C = 2 \\ \\ C = 6$

Искомая первообразная:
$F(x) = \frac{1}{4} x^4 +2x^3-4x+6$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $f(x) = x^3 + 6x^2 - 4$, мы будем интегрировать каждый член по отдельности. Интегрируя, мы получаем:

$$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 4x + C$$

где $C$ — произвольная постоянная.

Чтобы найти значение постоянной $C$, используем условие, что график проходит через точку $M(-2, 2)$. Подставим координаты точки в нашу функцию:

$$2 = \frac{1}{4}(-2)^4 + 2(-2)^3 - 4(-2) + C$$

Вычислив правую часть уравнения, получим:

$$2 = \frac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 8 + 8 + C$$

$$2 = 4 - 16 + 8 + C$$

$$2 = -4 + C$$

Теперь решим это уравнение относительно $C$:

$$C = 2 + 4 = 6$$

Итак, первообразная функции $f(x) = x^3 + 6x^2 - 4$, проходящая через точку $M(-2, 2)$, равна:

$$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 4x + 6$$