Question

Cos 3x sin 7x=Cos 2x sin 8x Решите уравнение

Answer 1

Есть формула:
sin a*cos b = 1/2*[sin(a+b) + sin(a-b)]
Подставляем
1/2*[sin(7x+3x) + sin(7x-3x)] = 1/2*[sin(8x+2x) + sin(8x-2x)]
Умножаем все на 2 и упрощаем
sin 10x + sin 4x = sin 10x + sin 6x
sin 4x = sin 6x
sin 6x - sin 4x = 0
Есть еще одна формула:
$sin(a)-sin(b)=2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем
$2sin \frac{6x-4x}{2} *cos \frac{6x+4x}{2} =2sin(x)*cos(5x)=0$
Распадается на 2 уравнения
1) sin x = 0; x1 = pi*k
2) cos 5x = 0; 5x = pi/2 + pi*n; x2 = pi/10 + pi*n/5

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем применить тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Начнем с приведения обеих сторон уравнения к общему знаменателю.

Используем тригонометрическое тождество: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(3x)sin(7x) = cos(2x)sin(8x) (sin(3x)cos(7x) + cos(3x)sin(7x)) = cos(2x)sin(8x)

Теперь раскроем скобки:

sin(3x)cos(7x) + cos(3x)sin(7x) = cos(2x)sin(8x)

Применим еще одно тригонометрическое тождество: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

sin(3x + 7x) = cos(2x)sin(8x)

sin(10x) = cos(2x)sin(8x)

Поделим обе части уравнения на sin(8x):

(sin(10x))/(sin(8x)) = cos(2x)

Мы получили уравнение, которое можно решить численно или графически. Однако, для нахождения точных значений x потребуется применение специальных методов, таких как численные методы или использование графиков функций.