Question

Начертить график y=5/x^2 - 1 через план производной

Answer 1

Ответ: Рисунок с графиком функции в приложении.

ДАНО: Y(x) = 5/(x²-1).

Пошаговое объяснение:

1. Область определения. (x²-1) = (x-1)*(x+1) ≠ 0.  x ≠ +/- 1 - разрывы.

D(y) = (-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞)

2. Вертикальные асимптоты:  Y = -1,  Y = 1.

3. Пересечение с осью Х - Y(x) = 0 - нет.

4. Пересечение с осью Y -  Y(0) = -5.

5. Поведение в точках разрыва.

lim(-1-) = +∞,  lim(-1+) = -∞, lim(1-) = -∞, lim(1-) = +∞,

Горизонтальная асимптота: Y = 0.

6. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: X∈(-∞;-1)∪(1;+∞), отрицательна: X∈(-1;1)

7. Проверка на чётность.

Y(-x) = Y(x) - функция чётная.

8. Поиск экстремумов - корни первой производной.

$>   - корень Х = 0.</p> <p>9. Локальный экстремум. Максимум Y(0) = -5.</p> <p>10. Интервалы монотонности.</p> <p>Возрастает:  X∈(-∞;-1)∪(-1;0), убывает: X∈(0;1)∪(1;+∞)</p> <p>11. Поиск перегибов - корни второй производной.</p> <p><img src=$  - корней нет.

12.  Выпуклая - "горка" - X∈(-1;1); вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;-1)∪(1;+∞).

13. График на рисунке в приложении.

Answer 2

Для начертания графика функции y = 5/x^2 - 1 через план производной, мы должны следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Найдите производную функции y по x. Шаг 2: Определите точки, где производная равна нулю или не существует. Шаг 3: Разбейте число x на интервалы, используя найденные точки из шага 2. Шаг 4: Определите знак производной в каждом интервале. Шаг 5: Нарисуйте график, используя информацию о знаке производной.

Шаг 1: Найдем производную функции y = 5/x^2 - 1. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования степенной функции и константы: dy/dx = d(5/x^2)/dx - d(1)/dx

Производная первого слагаемого: d(5/x^2)/dx = (5 * d(1/x^2)/dx) = (5 * -2/x^3) = -10/x^3

Производная второго слагаемого: d(1)/dx = 0

Суммируем две производные: dy/dx = -10/x^3

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю и решим уравнение: -10/x^3 = 0

Так как -10 ≠ 0, решения не существуют.

Шаг 3: Разобьем число x на интервалы. Из шага 2 мы знаем, что точек разделения интервалов нет. Мы будем использовать три интервала: a) x < 0 b) 0 < x < +∞

Шаг 4: Определим знак производной в каждом интервале. a) Для x < 0, выберем x = -1, x = -2 и x = -3 (произвольные значения в интервале). Подставим эти значения в производную: dy/dx = -10/(-1)^3 = -10 dy/dx = -10/(-2)^3 = -10/(-8) = 5/4 dy/dx = -10/(-3)^3 = -10/(-27) ≈ 0.3704

Видим, что производная в интервале x < 0 отрицательна.

b) Для 0 < x < +∞, выберем x = 1, x = 2 и x = 3 (произвольные значения в интервале). Подставим эти значения в производную: dy/dx = -