Question

Найти производную сложной функции y=ln() + arcsin

Answer 1

$y=ln\sqrt[6]{\frac{1-8x^2}{7x^3-4}}+arcsin\frac{5}{1-3x}\\\\y'=\sqrt[6]{\frac{7x^3-4}{1-8x^2}}\cdot \frac{1}{6}\cdot (\frac{1-8x^2}{7x^3-4})^{-\frac{5}{6}}\cdot \frac{-16x(7x^3-4)-(1-8x^2)\cdot 21x^2}{(7x^3-4)^2}+\\\\+\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{5}{1-3x})^2}}\cdot \frac{-5\cdot (-3)}{(1-3x)^2}$

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции y = ln(x) + arcsin(x) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки) гласит:

Если у = f(g(x)), где f(u) и g(x) - дифференцируемые функции, то производная y по x может быть вычислена как произведение производной f по u и производной g по x.

В данном случае, функция y = ln(x) + arcsin(x) представляет собой сумму двух сложных функций: y = f(u) + g(x), где f(u) = ln(u) и g(x) = arcsin(x).

Производная функции ln(x) равна 1/x, а производная функции arcsin(x) равна 1/√(1 - x^2).

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

dy/dx = df/du * du/dx + dg/dx

где df/du = 1/u, du/dx = 1, dg/dx = 1/√(1 - x^2).

Теперь подставим значения и получим итоговое выражение для производной:

dy/dx = (1/u) * 1 + (1/√(1 - x^2))

Таким образом, производная сложной функции y = ln(x) + arcsin(x) равна (1/u) + (1/√(1 - x^2)), где u = ln(x).