Question

2^(n+2)*3^n+5n-4 делится на 25 помогите доказать

Answer 1

Пусть A=2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n-4

1) n=1: A₁=2³*3¹+5*1-4=24+1=25⋮25

2) Пусть 2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n-4 ⋮ 25 для некоторого n=k, то есть $A_k=2^{k+2}*3^k+5k-4$⋮25. Докажем, что условие верно и для n=k+1

Получаем: $A_{k+1}=2^{k+3}*3^{k+1}+5k+5-4=2^{k+3}*3^{k+1}+5k+1=(2^{k+2}*3^k+5k-4)*6-25k+25=A_k*6+25(1-k)$

$A_k$⋮25=>$(A_k*6)$⋮25;

25(1-k)⋮25;

Значит $A_{k+1}$⋮25.

Ч.т.д.

______________________

Доказано методом математической индукции

Answer 2

Для доказательства, что выражение 2^(n+2)*3^n+5n-4 делится на 25, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базы индукции При n = 0: 2^(0+2)*3^0+5(0)-4 = 4 + 0 - 4 = 0. Полученное значение является кратным 25, поэтому база индукции выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k выполняется: 2^(k+2)*3^k+5k-4 делится на 25.

Шаг 3: Доказательство индукции Докажем, что при n = k + 1 тоже выполняется: 2^((k+1)+2)*3^(k+1)+5(k+1)-4 делится на 25.

2^((k+1)+2)3^(k+1)+5(k+1)-4 = 2^(k+3)3^(k+1) + 5k + 5 - 4 = 82^(k+2)3^k3 + 5k + 1 = 8(2^(k+2)*3^k+5k-4) + 5k + 1

Мы знаем, что 2^(k+2)*3^k+5k-4 делится на 25 по предположению индукции. Поэтому мы можем представить это выражение как 25m, где m - целое число.

Тогда: 8*(2^(k+2)3^k+5k-4) + 5k + 1 = 8(25m) + 5k + 1 = 200m + 5k + 1

Мы видим, что 200m + 5k + 1 является суммой трех слагаемых. Первое слагаемое 200m кратно 25. Второе слагаемое 5k кратно 25, поскольку k - целое число. Третье слагаемое 1 не влияет на кратность 25.

Таким образом, 2^((k+1)+2)*3^(k+1)+5(k+1)-4 также делится на 25.

По принципу математической индукции, мы доказали, что для всех натуральных чисел n выражение 2^(n+2)*3^n+5n-4 делится на 25.