Question

Найдите точку максимума функции у=-2х^3 +9x^2+3

Answer 1

Ответ:

Точка (3; 30)

Пошаговое объяснение:

$y = -2x^3 + 9x^2 + 3$

Для нахождения экстремумов найдём производную:

$y' = -6x^2 + 18x = -6x(x - 3)$

В экстремумах функции производная обращается в ноль.Следовательно, экстремумы функции - точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Найдём вторую производную, чтобы понять чем является экстремум - локальным минимумом или локальным максимумом:

$y'' = -12x + 18\\y''(x_1) = 18 > 0 \Rightarrow x_1 - \min\\y''(x_2) = -18 < 0 \Rightarrow x_2 - \max$

Найдём значение в локальном максимуме:

$y(x_2) = 30$.

В качестве приложения - график:

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции у=-2х^3 + 9x^2 + 3, необходимо взять производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Первым шагом найдем производную функции у по переменной х. Используем правило дифференцирования степенной функции:

у' = (-23)х^(3-1) + (92)x^(2-1) + 0 = -6х^2 + 18x

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

-6х^2 + 18x = 0

Вынесем общий множитель:

-6x(x - 3) = 0

Теперь решим два уравнения:

1. -6x = 0 x = 0

2. x - 3 = 0 x = 3

Таким образом, у нас есть две точки, где производная функции равна нулю: x = 0 и x = 3.

Теперь необходимо определить, является ли каждая из этих точек точкой максимума или минимума. Для этого можно проанализировать знак второй производной функции.

Возьмем вторую производную функции у:

у'' = (-6х^2 + 18x)' = -12x + 18

Подставим значения x = 0 и x = 3 в у'' и определим их знак:

При x = 0: у''(0) = -120 + 18 = 18 При x = 3: у''(3) = -123 + 18 = -6

Так как у''(0) > 0, то точка x = 0 соответствует точке минимума. А так как у''(3) < 0, то точка x = 3 соответствует точке максимума.

Итак, точка максимума функции y = -2x^3 + 9x^2 + 3 находится в x = 3.