Question

При каких значениях y=c функция x^2-4|x|+2x имеет три общии точки

Answer 1

Решение во вложенном файле

Answer 2

Для того чтобы функция $x^2-4|x|+2x$ имела три общих точки с прямой $y=c$, нужно найти значения $c$ при которых существуют три значения $x$, которые являются решениями уравнения $x^2-4|x|+2x=c$.

Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Когда $c<0$: В этом случае уравнение $x^2-4|x|+2x=c$ не имеет решений, потому что квадрат $x^2$ всегда неотрицателен, а $4|x|$ и $2x$ всегда неотрицательны или равны нулю. Следовательно, для $c<0$ функция не имеет общих точек с прямой $y=c$.

2. Когда $c=0$: В этом случае уравнение $x^2-4|x|+2x=0$ принимает вид $x^2+2x=0$, что эквивалентно $x(x+2)=0$. Решениями этого уравнения являются $x=0$ и $x=-2$. Таким образом, функция имеет две общие точки с прямой $y=0$ при $x=0$ и $x=-2$.

3. Когда $c>0$: В этом случае уравнение $x^2-4|x|+2x=c$ можно разбить на две части в зависимости от значения $x$: $x^2+2x-c=0$ при $x\geq 0$ и $x^2-2x-c=0$ при $x<0$. Для того чтобы уравнение имело два корня при $x\geq 0$ и один корень при $x<0$, необходимо выполнение двух условий: дискриминант $D_1$ первого уравнения должен быть положительным, а дискриминант $D_2$ второго уравнения должен быть отрицательным.

Дискриминант $D_1$ первого уравнения $x^2+2x-c=0$ равен $D_1=4+4c$, а дискриминант $D_2$ второго уравнения $x^2-2x-c=0$ равен $D_2=4-4c$.

Таким образом, чтобы функция имела три общие точки с прямой $y=c$, нужно, чтобы $c>0$ и одновременно выполнялись условия $D_1>0$ и $D_2<0$, то есть $4+4c>0$ и $4-4c<0$.

Из первого неравенства получаем $c>-1$, а