Question

Помогите довести что при все значениях исполняеться функция: х в квадрате +у в квадрате+ 8х-10у+42>0

Answer 1

Превращаем выражение в квадрат суммы (двух сумм).
x² + y² + 8x - 10 y + 42 > 0
(x² + 8x + 16) + (y² - 10y + 25) + 1 > 0
(x+4)² + (y-5)² + 1 >0 
Квадрат числа всегда больше 0.  

Answer 2

Для доказательства, что данное неравенство выполняется для всех значений x и y, мы можем воспользоваться методом полного квадрата.

Рассмотрим выражение x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 и попробуем привести его к виду суммы квадратов:

x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 = (x^2 + 8x) + (y^2 - 10y) + 42

Для завершения квадратов, мы должны добавить некоторые дополнительные выражения. Заметим, что половина коэффициента перед x в исходном выражении равна 4, а половина коэффициента перед y равна -5. Тогда мы можем добавить следующие члены:

= (x^2 + 8x + 4^2) - 4^2 + (y^2 - 10y + (-5)^2) - (-5)^2 + 42

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

= (x + 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 + 42

= (x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1

Таким образом, исходное неравенство x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 > 0 можно переписать в виде:

(x + 4)^2 + (y - 5)^2 + 1 > 0

Квадраты (x + 4)^2 и (y - 5)^2 всегда будут неотрицательными, а 1 также является положительным числом. Таким образом, сумма положительных чисел всегда будет больше нуля.

Мы пришли к выводу, что исходное неравенство выполняется для всех значений x и y.